Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
.
Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .
Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que pede o exercício. Temos uma caixa retangular sem tampa, cujas arestas medem
,
e
. O volume dessa caixa é igual a 32. A gente precisa usar a desigualdade das médias (também conhecida como AM-GM) para mostrar que a área da caixa é maior ou igual a 48.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o volume e a área de uma caixa retangular, além de entender como aplicar a desigualdade das médias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas básicas:
-
Volume (
) da caixa: Sabemos que, então: -
Área total (
) da caixa sem tampa: Queremos mostrar que.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a desigualdade das médias. Essa desigualdade diz que para números positivos, a média aritmética (a soma dividida pela quantidade) é sempre maior ou igual à média geométrica (a raiz da multiplicação).
Nesse caso, vamos aplicar a desigualdade às partes da área:
Passo 4
Vamos simplificar o lado direito da desigualdade:
Como sabemos que
, substituímos:
Passo 5
Voltando à desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por 3 para resolver para
:
Resposta
Portanto, usando a desigualdade das médias, mostramos que se o volume da caixa é igual a 32, então sua área é maior ou igual a 48.