Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z.
Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que pede o exercício. Temos uma caixa retangular sem tampa, cujas arestas medem x, y e z. O volume dessa caixa é igual a 32. A gente precisa usar a desigualdade das médias (também conhecida como AM-GM) para mostrar que a área da caixa é maior ou igual a 48.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o volume e a área de uma caixa retangular, além de entender como aplicar a desigualdade das médias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas básicas:
  • Volume ( V) da caixa:
    V = x times y times z
    Sabemos que V = 32, então:
    x times y times z = 32
  • Área total ( A) da caixa sem tampa:
    A = xy + 2xz + 2yz
    Queremos mostrar que A >= 48.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a desigualdade das médias. Essa desigualdade diz que para números positivos, a média aritmética (a soma dividida pela quantidade) é sempre maior ou igual à média geométrica (a raiz da multiplicação).
Nesse caso, vamos aplicar a desigualdade às partes da área:
xy + 2xz + 2yz3 >= raiz[3]xy times 2xz times 2yz

Passo 4

Vamos simplificar o lado direito da desigualdade:
raiz[3]xy times 2xz times 2yz = raiz[3]4x^2 y^2 z^2 = raiz[3]4(xyz)^2
Como sabemos que xyz = 32, substituímos:
raiz[3]4 times 32^2 = raiz[3]4 times 1024 = raiz[3]4096 = 16

Passo 5

Voltando à desigualdade:
A3 >= 16
Multiplicando ambos os lados por 3 para resolver para A:
A >= 48

Resposta

Portanto, usando a desigualdade das médias, mostramos que se o volume da caixa é igual a 32, então sua área é maior ou igual a 48.

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