Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo .
Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que pede o exercício. Temos uma caixa retangular sem tampa, cujas arestas medem , e . O volume dessa caixa é igual a 32. A gente precisa usar a desigualdade das médias (também conhecida como AM-GM) para mostrar que a área da caixa é maior ou igual a 48.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o volume e a área de uma caixa retangular, além de entender como aplicar a desigualdade das médias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas básicas:
  • Volume ( ) da caixa:
    Sabemos que , então:
  • Área total ( ) da caixa sem tampa:
    Queremos mostrar que .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a desigualdade das médias. Essa desigualdade diz que para números positivos, a média aritmética (a soma dividida pela quantidade) é sempre maior ou igual à média geométrica (a raiz da multiplicação).
Nesse caso, vamos aplicar a desigualdade às partes da área:

Passo 4

Vamos simplificar o lado direito da desigualdade:
Como sabemos que , substituímos:

Passo 5

Voltando à desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por 3 para resolver para :

Resposta

Portanto, usando a desigualdade das médias, mostramos que se o volume da caixa é igual a 32, então sua área é maior ou igual a 48.

Exercícios relacionados

Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja : número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de .
Dois catalizadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está corretamente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele não mude o rendimento do processo. Um teste é feito em uma planta piloto, resultando os seguintes dados:
Observação 1 2 3 4 5 6 7 8
Catalisador 1 151,89 156,34 153,02 158,35 152,37 147,86 157,24 148,09
Catalisador 2 148,06 150,98 150,16 154,73 161,34 161,09 151,18 153,97
Há alguma diferença entre os rendimentos médios? Use .
Uma urna contém 6 bolas numeradas de 1 a 6 . Uma pessoa paga e retira aleatoriamente uma bola. Se retirar a bola 6 recebe R ; se retirar as bolas ou 5 nada recebe; e se retirar a bola 1 irá escolher outra bola, sem repor a primeira, e se esta segunda for a bola 6 , recebe ; caso contrário, nada recebe. Calcular quanto a pessoa que está jogando espera lucrar.
As probabilidades de que haja ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num sábado são, respectivamente: 0, e 0,10 . Qual o número médio de pessoas por carro? Se chegam no litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas, em 10 horas de contagem?