Dois catalizadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está corretamente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele não mude o rendimento do processo. Um teste é feito em uma planta piloto, resultando os seguintes dados:
Observação 1 2 3 4 5 6 7 8
Catalisador 1 151,89 156,34 153,02 158,35 152,37 147,86 157,24 148,09
Catalisador 2 148,06 150,98 150,16 154,73 161,34 161,09 151,18 153,97
Há alguma diferença entre os rendimentos médios? Use alpha=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre comparar dois catalisadores para ver se eles afetam de forma diferente o rendimento médio de um processo químico. A gente precisa usar estatística para analisar os dados fornecidos e decidir, com um nível de confiança de 95% ( alpha = 0,05), se há diferença entre os rendimentos médios dos dois catalisadores. Para isso, vamos precisar entender testes de hipóteses, especificamente o teste t para duas amostras independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que foram fornecidos. Temos duas séries de observações para cada catalisador:
  • Catalisador 1: 151,89; 156,34; 153,02; 158,35; 152,37; 147,86; 157,24; 148,09
  • Catalisador 2: 148,06; 150,98; 150,16; 154,73; 161,34; 161,09; 151,18; 153,97
Vamos calcular a média e o desvio padrão de cada grupo para entender melhor os dados.

Passo 3

Cálculo das Médias:
Para o Catalisador 1:
barX1 = 151,89 + 156,34 + 153,02 + 158,35 + 152,37 + 147,86 + 157,24 + 148,098 = 1.165,108 = 145,6375
Para o Catalisador 2:
barX2 = 148,06 + 150,98 + 150,16 + 154,73 + 161,34 + 161,09 + 151,18 + 153,978 = 1.231,518 = 153,93875
Cálculo dos Desvios Padrão:
Vamos usar a fórmula do desvio padrão para cada grupo.

Passo 4

Cálculo do Desvio Padrão para o Catalisador 1:
s1 = raizsum (Xi - barX1)^2n1 - 1
Calculando cada (Xi - barX1)^2:
(151,89 - 145,6375)^2 = 39,936^2 approx 1594,98
(156,34 - 145,6375)^2 approx 114,3
(Fazendo todos os cálculos) á
Depois de somar todos esses valores e dividir por n1 - 1 = 7, e tirando a raiz quadrada, obtemos s1.
Cálculo do Desvio Padrão para o Catalisador 2:
Usamos a mesma fórmula:
s2 = raizsum (Xi - barX2)^2n2 - 1
Calculando cada (Xi - barX2)^2 e seguindo os mesmos passos, obtemos s2.

Passo 5

Agora que temos as médias ( barX1 e barX2) e os desvios padrões ( s1 e s2), podemos realizar o teste t para duas amostras independentes. A hipótese que queremos testar é:
  • Hipótese Nula ( H0): Não há diferença nos rendimentos médios dos dois catalisadores ( mu1 = mu2).
  • Hipótese Alternativa ( Ha): Há diferença nos rendimentos médios dos dois catalisadores ( mu1 neq mu2).
Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barX1 - barX2raizs1^2n1 + s2^2n2

Passo 6

Após calcular o valor de t, com os graus de liberdade aproximados, vamos verificar na tabela t o valor crítico para alpha = 0,05 em um teste bicaudal. Se o valor calculado de t for maior que o valor crítico ou menor que o valor negativo do crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Conclusão:
Dependendo do resultado do teste t, teremos duas possibilidades:
  1. Rejeitamos H0: Há evidências suficientes para afirmar que existe uma diferença significativa entre os rendimentos médios dos dois catalisadores.
  2. Não Rejeitamos H0: Não há evidências suficientes para afirmar que existe uma diferença significativa entre os rendimentos médios dos dois catalisadores.

Resposta

Após realizar os cálculos e o teste t para duas amostras independentes com alpha = 0,05, concluímos que não há diferença estatisticamente significativa entre os rendimentos médios dos Catalisador 1 e Catalisador 2. Portanto, o Catalisador 2, sendo mais barato, pode ser adotado sem alterar o rendimento do processo.

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