Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X : número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma urna com 4 bolas brancas e 3 pretas, totalizando 7 bolas. Vamos retirar 3 bolas sem colocar de volta. Nosso objetivo é descobrir a distribuição de probabilidades para , que representa o número de bolas brancas que podemos tirar. Para resolver isso, vamos usar combinatória e fundamentos de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quantas maneiras diferentes podemos retirar 3 bolas de um total de 7. Isso é calculado usando combinações, que nos dizem de quantas formas podemos escolher um subconjunto sem se importar com a ordem. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde C(7, 3) = 7!3!(7-3)! = 35 é o total de objetos e é o número de objetos a serem escolhidos. Então, para nosso caso:
Isso significa que há 35 maneiras diferentes de tirar 3 bolas da urna.

Passo 3

Agora, vamos calcular as maneiras de obter diferentes números de bolas brancas na retirada. Vamos considerar os casos onde C(4, 0) times C(3, 3) = 1 times 1 = 1 .
  • Para C(4, 1) times C(3, 2) = 4 times 3 = 12 : Queremos tirar 0 bolas brancas, ou seja, todas pretas. Temos 3 bolas pretas, então:
C(4, 2) times C(3, 1) = 6 times 3 = 18
  • Para C(4, 3) times C(3, 0) = 4 times 1 = 4 : Queremos tirar 1 bola branca e 2 pretas:
  • Para : Queremos tirar 2 bolas brancas e 1 preta:
  • Para : Queremos tirar todas as 3 bolas brancas:

Passo 4

Agora que temos o número de maneiras para cada caso, podemos calcular a probabilidade de cada P(X=0) = 135 approx 0,0286 (ou 2,86%) dividindo o número de casos favoráveis pelo total de casos possíveis (35).
  • Para P(X=1) = 1235 approx 0,3429 (ou 34,29%) :
P(X=2) = 1835 approx 0,5143 (ou 51,43%)
  • Para P(X=3) = 435 approx 0,1143 (ou 11,43%) :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A distribuição de probabilidades de P(X=0) &approx 2,86% P(X=1) &approx 34,29% P(X=2) &approx 51,43% P(X=3) &approx 11,43% é:

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