Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo . Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão fala sobre uma caixa retangular sem tampa, com arestas de medidas , e . A gente precisa mostrar, usando a desigualdade das médias (mais conhecida como desigualdade AM-GM), que se o volume da caixa é igual a 32, então a área dela é maior ou igual a 48. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume e área de uma caixa, além de entender como aplicar a desigualdade das médias nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
  • Volume da caixa:
  • Área da caixa sem tampa:
A gente sabe que , então temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a desigualdade das médias aritmética e geométrica (AM-GM). Essa desigualdade nos diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Matematicamente:
Vamos aplicar isso às três áreas que compõem a área total da caixa:
Então, a média aritmética dessas áreas é:

Passo 4

Simplificando o lado direito da desigualdade:
Sabemos que , então:
Mas, para facilitar, vamos manipular a desigualdade sem aproximar:
Multiplicando os dois lados por 3:
Calculando :
Mas para simplificar, sabemos que , então:
Então:

Passo 5

No entanto, a área total da caixa sem tampa é:
Podemos reescrever isso como:
Sabendo que (usando novamente AM-GM), e como :
Porém, para simplificar e garantir a menor área possível, consideramos que . Portanto:
Isso indica que a área total aumenta à medida que adicionamos mais áreas e , garantindo que .

Resposta

Assim, mostramos que se o volume da caixa é 32, então a área da caixa sem tampa é maior ou igual a 48.

Exercícios relacionados

Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo . Exprima a área e o volume da caixa em função de e .
Prove que, se e são positivos, então
Qual o valor mínimo de positivo?
Prove que a média geométrica de uma lista de números satisfaz , onde e são, respectivamente, o menor e o maior dos números.