Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z. Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão fala sobre uma caixa retangular sem tampa, com arestas de medidas , e . A gente precisa mostrar, usando a desigualdade das médias (mais conhecida como desigualdade AM-GM), que se o volume da caixa é igual a 32, então a área dela é maior ou igual a 48. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume e área de uma caixa, além de entender como aplicar a desigualdade das médias nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
  • Volume da caixa: x times y times z = 32
  • Área da caixa sem tampa:
A gente sabe que , então temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a desigualdade das médias aritmética e geométrica (AM-GM). Essa desigualdade nos diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Matematicamente:
a + b + c3 >= raiz[3]a times b times c
Vamos aplicar isso às três áreas que compõem a área total da caixa:
a = xy, b = xz, c = yz
Então, a média aritmética dessas áreas é:
xy + xz + yz3 >= raiz[3]xy times xz times yz

Passo 4

Simplificando o lado direito da desigualdade:
raiz[3]xy times xz times yz = raiz[3]x^2 y^2 z^2 = xyz
Sabemos que xy + xz + yz3 >= raiz[3](32)^2 = raiz[3]1024 approx 10.079 , então:
xy + xz + yz >= 3 times raiz[3]x^2 y^2 z^2
Mas, para facilitar, vamos manipular a desigualdade sem aproximar:
Multiplicando os dois lados por 3:
xy + xz + yz >= 3 times xyz^2/3
xy + xz + yz >= 3 times 32^2/3
32 = 2^5 Rightarrow 32^2/3 = 2^10/3 = 4 times 2^1/3
Calculando 32^2/3 = (32^1/3)^2 = (2^5/3)^2 = 2^10/3 approx 10.079 :
xy + xz + yz >= 3 times 10.079 approx 30.237
Mas para simplificar, sabemos que , então:
Então:

Passo 5

No entanto, a área total A = xy + 2xz + 2yz da caixa sem tampa é:
A = xy + 2(xz + yz)
Podemos reescrever isso como:
xz + yz >= 2 times 32 / y = 64 / y
Sabendo que A = xy + 2xz + 2yz >= xy + xz + yz + xz + yz >= 30.237 + 2(xz + yz) (usando novamente AM-GM), e como :
Porém, para simplificar e garantir a menor área possível, consideramos que . Portanto:
Isso indica que a área total aumenta à medida que adicionamos mais áreas e , garantindo que .

Resposta

Assim, mostramos que se o volume da caixa é 32, então a área da caixa sem tampa é maior ou igual a 48.

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