Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão fala sobre uma caixa retangular sem tampa, com arestas de medidas
,
e
. A gente precisa mostrar, usando a desigualdade das médias (mais conhecida como desigualdade AM-GM), que se o volume da caixa é igual a 32, então a área dela é maior ou igual a 48. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume e área de uma caixa, além de entender como aplicar a desigualdade das médias nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
- Volume da caixa:
- Área da caixa sem tampa:
A gente sabe que
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a desigualdade das médias aritmética e geométrica (AM-GM). Essa desigualdade nos diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Matematicamente:
Vamos aplicar isso às três áreas que compõem a área total da caixa:
Então, a média aritmética dessas áreas é:
Passo 4
Simplificando o lado direito da desigualdade:
Sabemos que
, então:
Mas, para facilitar, vamos manipular a desigualdade sem aproximar:
Multiplicando os dois lados por 3:
Calculando
:
Mas para simplificar, sabemos que
, então:
Então:
Passo 5
No entanto, a área total
da caixa sem tampa é:
Podemos reescrever isso como:
Sabendo que
(usando novamente AM-GM), e como
:
Porém, para simplificar e garantir a menor área possível, consideramos que
. Portanto:
Isso indica que a área total aumenta à medida que adicionamos mais áreas
e
, garantindo que
.
Resposta
Assim, mostramos que se o volume da caixa é 32, então a área da caixa sem tampa é maior ou igual a 48.
Exercícios relacionados
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Exprima a área e o volume da caixa em função de
e
.
Prove que, se
e
são positivos, então
Qual o valor mínimo de
positivo?
Prove que a média geométrica
de uma lista de
números satisfaz
, onde
e
são, respectivamente, o menor e o maior dos números.