Qual o valor mínimo de x+4x, x positivo?

Passo 1

Beleza, temos o problema de encontrar o valor mínimo da expressão para positivo. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o uso de derivadas para encontrar extremos de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos derivar a função em relação a . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.

Passo 3

Calculando a derivada:
f'(x) = ddx(x) + ddx(4x) = 1 - 4x^2
Aqui, usamos a regra básica de derivação e a regra do poder para derivar .

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
1 - 4x^2 = 0
Resolvendo para 1 = 4x^2 implies x^2 = 4 implies x = 2 :
Como é positivo, descartamos .

Passo 5

Agora, verificamos se esse ponto é um mínimo. Podemos observar que para , a função tende ao infinito quando se aproxima de zero ou vai para o infinito, indicando que é realmente o ponto de mínimo.

Resposta

O valor mínimo de para positivo é 4, atingido quando .

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