Qual o valor mínimo de
positivo?
Passo 1
Beleza, temos o problema de encontrar o valor mínimo da expressão
para
positivo. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o uso de derivadas para encontrar extremos de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos derivar a função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.
Passo 3
Calculando a derivada:
Aqui, usamos a regra básica de derivação e a regra do poder para derivar
.
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Como
é positivo, descartamos
.
Passo 5
Agora, verificamos se esse ponto é um mínimo. Podemos observar que para
, a função
tende ao infinito quando
se aproxima de zero ou vai para o infinito, indicando que
é realmente o ponto de mínimo.
Resposta
O valor mínimo de
para
positivo é 4, atingido quando
.
Exercícios relacionados
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Exprima a área e o volume da caixa em função de
e
.
Prove que a média geométrica
de uma lista de
números satisfaz
, onde
e
são, respectivamente, o menor e o maior dos números.
Prove que
, para quaisquer
reais.