Prove que a média geométrica
de uma lista de
números satisfaz
, onde
e
são, respectivamente, o menor e o maior dos números.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a média geométrica
de uma lista de
números está entre o menor número
e o maior número
da lista, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é média geométrica e usar algumas propriedades básicas de números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a média geométrica. Se temos
números positivos
, a média geométrica
é dada por:
Isso significa que multiplicamos todos os números e tiramos a raiz
-ésima desse produto.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre os números
e
. Como
é o menor número da lista, todos os
são maiores ou iguais a
. Então, multiplicando todos eles, temos:
Tirando a raiz
-ésima de ambos os lados, ficamos com:
Ou seja,
.
Passo 4
De forma semelhante, como
é o maior número da lista, todos os
são menores ou iguais a
. Multiplicando todos eles:
Tirando a raiz
-ésima:
Então,
.
Resposta
Combinando as duas desigualdades, concluímos que a média geométrica
satisfaz
.
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positivo?
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, para quaisquer
reais.
Mostre que se a equação
, na qual
e
são números positivos e possuem três raízes reais, então
.