Prove que a média geométrica g de uma lista de n números satisfaz m <= g <= M, onde m e M são, respectivamente, o menor e o maior dos números.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a média geométrica de uma lista de números está entre o menor número e o maior número da lista, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é média geométrica e usar algumas propriedades básicas de números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a média geométrica. Se temos g = raiz[n]a1 times a2 times dots times an números positivos , a média geométrica é dada por:
Isso significa que multiplicamos todos os números e tiramos a raiz -ésima desse produto.

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre os números a1 times a2 times dots times an >= m^n e g = raiz[n]a1 times a2 times dots times an >= raiz[n]m^n = m . Como é o menor número da lista, todos os são maiores ou iguais a . Então, multiplicando todos eles, temos:
Tirando a raiz -ésima de ambos os lados, ficamos com:
Ou seja, .

Passo 4

De forma semelhante, como a1 times a2 times dots times an <= M^n é o maior número da lista, todos os g = raiz[n]a1 times a2 times dots times an <= raiz[n]M^n = M são menores ou iguais a . Multiplicando todos eles:
Tirando a raiz -ésima:
Então, .

Resposta

Combinando as duas desigualdades, concluímos que a média geométrica satisfaz .

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