Cakule partial fpartial u(x0, y0), sendo dados:
f(x, y)=e^x^2-y^2,(x0, y0)=(1,1) e u o versor de (3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica, determinada pelo vetor . Para calcular isso, usamos o gradiente de e o vetor direcional.

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente de nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) , que é o vetor das derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = partialpartial x e^x^2 - y^2 = 2x e^x^2 - y^2
partial fpartial y = partialpartial y e^x^2 - y^2 = -2y e^x^2 - y^2
Então, o gradiente fica:
nabla f(x, y) = (2x e^x^2 - y^2, -2y e^x^2 - y^2)

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 1) = (2 cdot 1 cdot e^1^2 - 1^2, -2 cdot 1 cdot e^1^2 - 1^2) = (2e^0, -2e^0) = (2, -2) :

Passo 6

Em seguida, precisamos normalizar o vetor uunitário = u|u| para obter o versor (vetor unitário) na direção de |u| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 . A fórmula para o vetor unitário é:
uunitário = ( 35, 45 ) á
Calculando a magnitude de :
Então:
á

Passo 7

Agora, a fórmula para a derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Du f(1, 1) = nabla f(1, 1) cdot uunitário á
Substituindo os valores que temos:
Du f(1, 1) = (2, -2) cdot ( 35, 45 ) = 2 cdot 35 + (-2) cdot 45 = 65 - 85 = -25

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

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