Cakule
, sendo dados:
e
o versor de (3,4).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função
em uma direção específica, determinada pelo vetor
. Para calcular isso, usamos o gradiente de
e o vetor direcional.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente de
, que é o vetor das derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Em seguida, precisamos normalizar o vetor
para obter o versor (vetor unitário) na direção de
. A fórmula para o vetor unitário é:
Calculando a magnitude de
:
Então:
Passo 7
Agora, a fórmula para a derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
.