Sejam
e
.
b) Calcule
.
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função
definida de forma diferente quando
é igual a
e quando é diferente. Além disso, temos um vetor
. A gente precisa calcular o produto do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja, para nossa função
, temos:
No ponto
, precisamos encontrar essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
mantendo
constante e depois avaliar em
.
Para
:
Derivando em relação a
:
Agora, avaliando em
:
O limite dessa expressão é 0. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Fazemos o mesmo processo:
Derivando
em relação a
:
Avaliando em
:
Esse limite também é 0. Portanto:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o gradiente de
no ponto
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o vetor unitário na direção de
. A fórmula para o vetor unitário
na direção de
é:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Então:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Resposta
O valor de
é 0.