Sejam f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0); 0, (x, y) = (0, 0) } e u = (1, 1).
b) Calcule nabla f(0,0) * u / ||u||.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função definida de forma diferente quando é igual a e quando é diferente. Além disso, temos um vetor . A gente precisa calcular o produto do gradiente de no ponto com o vetor unitário na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja, para nossa função , temos:
No ponto , precisamos encontrar essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Isso significa que vamos derivar em relação a mantendo constante e depois avaliar em .
Para :
Derivando em relação a :
Agora, avaliando em :
O limite dessa expressão é 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Fazemos o mesmo processo:
Derivando em relação a :
Avaliando em :
Esse limite também é 0. Portanto:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o gradiente de no ponto :

Passo 6

Agora, vamos calcular o vetor unitário na direção de . A fórmula para o vetor unitário na direção de é:
Primeiro, calculamos a norma de :
Então:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Resposta

O valor de é 0.

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