Expanda a função indicada em uma série apropriada de cossenos ou de senos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é expandir essa função em uma série adequada de cossenos ou senos, ou seja, encontrar sua série de Fourier. Para isso, precisamos identificar quais coeficientes e qual tipo de série (cossenos ou senos) é mais apropriado para representar a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar se a função é par ou ímpar, pois isso nos ajudará a decidir se usamos uma série de cossenos (para funções pares) ou senos (para funções ímpares).
Uma função é par se e ímpar se .
Observando a definição de :
Para :
Para :
Portanto, é uma função par. Isso significa que podemos expandi-la usando uma série de cossenos.
Passo 3
A série de Fourier para uma função par com período é dada por:
Onde:
é o coeficiente constante
são os coeficientes dos cossenos
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente :
Como a função é par, podemos simplificar a integração para:
Considerando a definição de :
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Calculando a integral para :
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Novamente, como para , a integral reduz para:
Passo 7
Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para :
Resposta
A expansão em série de cossenos da função é dada por: