Como é calculada a eficiência de empacotamento para as estruturas cubicas simples (SC), cubica de corpo centrado (BCC) e cubica de face centrada (FCC). Para cada uma dessas estruturas, calcule a eficiência de empacotamento, descrevendo o processo adotado para o cálculo. Qual a relevância da eficiência de empacotamento?

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre como calcular a eficiência de empacotamento para três estruturas cristalinas diferentes: Cúbica Simples (SC), Cúbica de Corpo Centrado (BCC) e Cúbica de Face Centrada (FCC). A eficiência de empacotamento é basicamente uma medida de quão bem os átomos estão arranjados dentro da célula unitária do cristal. Para resolver isso, vamos precisar saber quantos átomos existem em cada tipo de célula, como o raio dos átomos se relaciona com o tamanho da célula, e aplicar umas fórmulas matemáticas para calcular a eficiência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a eficiência de empacotamento. Ela é dada pela razão entre o volume ocupado pelos átomos dentro da célula unitária e o volume total da célula. Ou seja:
Eficiência de Empacotamento = Volume Total dos Átomos na CélulaVolume da Célula Unitária times 100% êÁééá
Agora, vamos analisar cada estrutura:

Passo 3

Cúbica Simples (SC):
Na estrutura SC, cada célula unitária tem 1 átomo por célula. Isso porque cada átomo está nos vértices do cubo e cada vértice é compartilhado por 8 células, então Eficiência SC = 43pi r^38r^3 times 100% = pi6 times 100% approx 52,4% átomo por célula.
A relação entre o raio ® do átomo e o lado (a) do cubo é .
O volume da célula unitária é .
O volume de um átomo é .
Então, a eficiência de empacotamento fica:
ê

Passo 4

Cúbica de Corpo Centrado (BCC):
Na estrutura BCC, cada célula unitária tem 2 átomos por célula. Um átomo inteiro no centro e 8 vértices compartilhando Eficiência BCC = 83pi r^364r^33raiz3 times 100% = pi648raiz3 times 100% approx 68% átomo.
A relação entre r e a para BCC é .
Volume da célula: .
Volume dos 2 átomos: .
Eficiência:
ê

Passo 5

Cúbica de Face Centrada (FCC):
Na estrutura FCC, cada célula unitária tem 4 átomos por célula. Cada face tem meio átomo e 8 vértices com Eficiência FCC = 163pi r^316raiz2r^3 times 100% = pi3raiz2 times 100% approx 74,0% cada, totalizando 4.
A relação entre r e a para FCC é .
Volume da célula: .
Volume dos 4 átomos: .
Eficiência:
ê

Resposta

A eficiência de empacotamento para as estruturas SC, BCC e FCC é aproximadamente 52,4%, 68% e 74,0%, respectivamente. A eficiência de empacotamento é relevante porque indica quão densamente os átomos estão arranjados no cristal, o que influencia propriedades físicas dos materiais, como densidade, resistência e até mesmo a capacidade de condução.

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