Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(i) sumn=0^+infty x^nn^2+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
sumn=0^+infty x^nn^2+2
Nosso objetivo é encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar onde uma série de potências converge.

Passo 2

O Teste da Razão nos ajuda a encontrar o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | de uma série de potências da forma . A fórmula para encontrar é:
No nosso caso, os coeficientes são . Vamos aplicar a fórmula.

Passo 3

Calculamos a razão entre | an+1an | = | 1(n+1)^2+21n^2+2 | = n^2+2(n+1)^2+2 e :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty n^2+2(n+1)^2+2 = limn to infty n^2+2n^2+2n+1+2 = limn to infty n^2n^2+2n+3 = 1 tende ao infinito:

Passo 5

Com o limite igual a 1, temos:
1R = 1 implies R = 1
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora que temos o raio de convergência, sabemos que a série converge para . Para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos e .

Passo 7

Para sumn=0^+infty 1n^2+2 :
A série se torna:
sumn=0^+infty (-1)^nn^2+2
Como os termos são positivos e diminuem para zero, a série converge por Teste da Série P, já que .
Para :
A série se torna:
Aqui, temos uma série alternada. Os termos são decrescentes e tendem a zero, então a série converge por Teste da Série Alternada.

Resposta

Intervalo de convergência:
Raio de convergência:

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