Calculando o limite lim x → 5 x 2 − 7 x + 10 / x 2 − 9 x + 20, encontramos:

Passo 1

Então, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 5 para a expressão $ \frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 9x + 20} $. Isso envolve o estudo de limites em funções racionais, onde precisamos simplificar a fração para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de $ x = 5 $ diretamente na expressão para ver o que acontece.
x = 5
Vimos que ao substituir, obtemos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos simplificar a fração para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo comum.
Fatorando o numerador $ x^2 - 7x + 10 $:
Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -5 e -2.
x^2 - 7x + 10
Fatorando o denominador $ x^2 - 9x + 20 $:
Procuramos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão -9. Esses números são -5 e -4.
x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x - 5)(x - 2)(x - 5)(x - 4)
Podemos cancelar o termo comum $ (x - 5) $:
(x - 5)

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo $ x = 5 $:
x = 5

Resposta

O limite é igual a 3.

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