Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2)

Passo 1

Vamos calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2). Para isso, vamos usar o produto escalar e as magnitudes dos vetores, que são conceitos da matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Substituindo os valores dos vetores:
u cdot v = (1)(-1) + (1)(2) + (4)(2) = -1 + 2 + 8 = 9

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores u e v. A magnitude de um vetor a = (ax, ay, az) é dada por:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Calculando para u:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 4^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18 approx 4,24
E para v:
|v| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores usando a fórmula:
costheta = dfracu cdot v|u||v| = dfrac94,24 times 3 approx dfrac912,72 approx 0,708
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0,708) approx 44,9^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2) é aproximadamente 44,9^circ.

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