Obtenha a solução da equação diferencial 6u² + 4cos(u) − 2v′ = 2 que atenda a v = 2 para u = 0
a- v(u) = 2 − u + 2sen(u) + u³
b- v(u) = u + 2cos(u) + u³
c- v(u) = 2 − 2u + 2sen(u) + u²
d- v(u) = 3 − u − 2sen(u) + u³
e- v(u) = 1 + u + cos(u) + u²

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial 6u^2 + 4cos(u) - 2v' = 2. Aqui, trabalharemos com equações diferenciais e integrais. Precisaremos rearranjar a equação para isolar v' e então integrar para encontrar v(u).

Passo 2

Primeiro, vamos isolar v' na equação dada:
6u^2 + 4cos(u) - 2v' = 2
Subtraindo 6u^2 + 4cos(u) de ambos os lados:
-2v' = 2 - 6u^2 - 4cos(u)

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por -2 para resolver para v':
v' = 6u^2 + 4cos(u) - 22 = 3u^2 + 2cos(u) - 1

Passo 4

Para encontrar v(u), precisamos integrar v' em relação a u:
v(u) = integral (3u^2 + 2cos(u) - 1) , du

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral 3u^2 , du = u^3
integral 2cos(u) , du = 2sin(u)
integral -1 , du = -u
Então, somando as integrais:
v(u) = u^3 + 2sin(u) - u + C

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial v(0) = 2 para encontrar a constante C:
v(0) = (0)^3 + 2sin(0) - 0 + C = 2
0 + 0 + 0 + C = 2 implies C = 2

Passo 7

Substituímos C = 2 na expressão de v(u):
v(u) = u^3 + 2sin(u) - u + 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
v(u) = 2 - u + 2sin(u) + u^3
Portanto, a opção correta é a alternativa a.

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