Em relação às curvas polares e o plano polar (rho, theta), avalie as afirmações a seguir: I) Para transformar em coordenadas polares, precisamos igualar as coordenadas de cada um dos sistemas e encontrar as variáveis faltantes. II) A equação rho cos theta = d graficamente representa uma reta perpendicular ao eixo polar Ox III) rho = a representa um círculo de raio |a| unidades. Assinale a alternativa que apresenta apenas as afirmações corretas. Escolha uma:
a. I
b. I, II e III
c. I e II
d. I e III
e. II e III

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre curvas polares e o plano polar (ρ, θ). A pergunta apresenta três afirmações e precisamos avaliar quais estão corretas. Para isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas cartesianas em polares, como representar retas e círculos no sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Afirmação I: “Para transformar em coordenadas polares, precisamos igualar as coordenadas de cada um dos sistemas e encontrar as variáveis faltantes.”
Para transformar coordenadas cartesianas (x, y) em polares (ρ, θ), usamos as fórmulas:
rho = raizx^2 + y^2
theta = arctan(yx)
Isso significa que, sim, igualamos as coordenadas dos dois sistemas e encontramos ρ e θ a partir de x e y. Portanto, a afirmação I está correta.

Passo 3

Agora, vamos para a Afirmação II: “A equação ρ cos θ = d graficamente representa uma reta perpendicular ao eixo polar Ox.”
No sistema polar, ρ cos θ é equivalente a x na coordenada cartesiana. Então, a equação rho cos theta = d é igual a x = d , que representa uma reta vertical no plano cartesiano, ou seja, perpendicular ao eixo Ox. Portanto, a afirmação II está correta.

Passo 4

Por último, vamos analisar a Afirmação III: “ρ = a representa um círculo de raio |a| unidades.”
No sistema polar, a equação rho = a descreve todos os pontos que estão a uma distância constante a do ponto de origem (o polo). Isso forma um círculo com raio |a|. Portanto, a afirmação III está correta.

Resposta

Todas as afirmações I, II e III estão corretas. A alternativa correta é a letra b. I, II e III.

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