Seja o campo vetorial . Considerando esse campo vetorial e aspectos relacionados aos campos vetoriais, analise os itens que seguem.
I. O divergente desse campo é zero.
II. O rotacional desse campo é o vetor nulo.
III. Esse campo é conservativo, pois o seu divergente é igual a zero. Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. Apenas o item II está correto.
b. Apenas o item I está correto.
c. Apenas os itens II e III estão corretos.
d. Os itens I, II e III estão corretos.
e. Apenas o item III está correto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado dá um campo vetorial $ \bold{F}(x, y, z) = y^2 z^3 \bold{i} + 2xyz^3 \bold{j} + 3xy2z2 \bold{k} $ e pede pra gente analisar três afirmações sobre ele: o divergente, o rotacional e se ele é conservativo. Pra resolver isso, vamos precisar saber como calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial, além de entender o que significa ser um campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo $ \bold{F} $. O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para o divergente em coordenadas cartesianas é:
Onde $ F_x = y^2 z^3 $, $ F_y = 2xyz^3 $ e $ F_z = 3xy2z2 $.
Calculando cada derivada:
boldF
div , boldF = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Fx = y^2 z^3
Somando tudo:
Então, o divergente não é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo $ \bold{F} $. O rotacional nos mostra a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Calculando cada componente:
boldF
rot , boldF = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) boldi + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) boldj + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) boldk
Então, a primeira componente do rotacional é $ 6xyz^2 - 6xyz^2 = 0 $.
partial Fzpartial y = partialpartial y (3xy^2z^2) = 6xyz^2
partial Fypartial z = partialpartial z (2xyz^3) = 6xyz^2
A segunda componente é $ 3y^2 z^2 - 3y^2 z^2 = 0 $.
6xyz^2 - 6xyz^2 = 0
partial Fxpartial z = partialpartial z (y^2 z^3) = 3y^2 z^2
A terceira componente é $ 2yz^3 - 2yz^3 = 0 $.
Portanto:
O rotacional é o vetor nulo.

Passo 4

Agora, vamos analisar se o campo $ \bold{F} $ é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial $ \phi $ tal que $ \bold{F} = \nabla \phi $. Uma condição necessária (mas não sempre suficiente) para um campo ser conservativo é que o rotacional dele seja zero.
No nosso caso, vimos que $ rot , \bold{F} = \bold{0} $, o que sugere que o campo pode ser conservativo. Contudo, a afirmação III diz que o campo é conservativo “pois o divergente é igual a zero”. Mas vimos que o divergente não é zero, então essa justificativa está errada. Portanto, a conclusão de que o campo é conservativo baseada no divergente ser zero está incorreta.

Passo 5

Vamos revisar as afirmações:
I. O divergente desse campo é zero. Falso, calculamos que $ div , \bold{F} = 2xz^3 + 6xy^2z $.
II. O rotacional desse campo é o vetor nulo. Verdadeiro, $ rot , \bold{F} = \bold{0} $.
III. Esse campo é conservativo, mas a justificativa está errada porque o divergente não é zero. Portanto, a afirmação III está falsa.

Resposta

A alternativa correta é:
a. Apenas o item II está correto.

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