Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sabendo que suas diagonais são e .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de vetores na matemática. O objetivo é calcular a área de um paralelogramo formado pelos vetores e . A gente sabe as diagonais desse paralelogramo, que são e . Para isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores e a partir dessas diagonais e depois usar a fórmula da área do paralelogramo usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores e individuais. Temos duas equações:
Para achar e , a gente pode somar e subtrair essas equações. Vamos somar as duas equações:
Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira:

Passo 3

Agora que temos os vetores e , vamos calcular a área do paralelogramo formado por esses vetores. A área de um paralelogramo definido por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Á
O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois, e o seu módulo dá a área do paralelogramo.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial :
Expandindo o determinante:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante para obter a área:

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é unidades de área.

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