Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v, sabendo que suas diagonais são u+v=(-1,3,4) e u-v=(1,-1,2).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de vetores na matemática. O objetivo é calcular a área de um paralelogramo formado pelos vetores e . A gente sabe as diagonais desse paralelogramo, que são e . Para isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores e a partir dessas diagonais e depois usar a fórmula da área do paralelogramo usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores u + v = (-1, 3, 4) e u - v = (1, -1, 2) individuais. Temos duas equações:
(u + v) + (u - v) = (-1, 3, 4) + (1, -1, 2)
2u = (0, 2, 6)
Para achar u = (0, 1, 3) e (u + v) - (u - v) = (-1, 3, 4) - (1, -1, 2) , a gente pode somar e subtrair essas equações. Vamos somar as duas equações:
2v = (-2, 4, 2)
v = (-1, 2, 1)
Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira:

Passo 3

Agora que temos os vetores Área = |u times v| e , vamos calcular a área do paralelogramo formado por esses vetores. A área de um paralelogramo definido por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Á
O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois, e o seu módulo dá a área do paralelogramo.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 1 :
u times v = i(1 cdot 1 - 3 cdot 2) - j(0 cdot 1 - 3 cdot (-1)) + k(0 cdot 2 - 1 cdot (-1))
Expandindo o determinante:
u times v = i(1 - 6) - j(0 + 3) + k(0 + 1)
u times v = i(-5) - j(3) + k(1)
u times v = (-5, -3, 1)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante para obter a área:
|u times v| = raiz(-5)^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz25 + 9 + 1 = raiz35

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é unidades de área.

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