Supondo que o tempo de meia vida de uma substância alimentícia é de 4 dias, use uma expressão de primeira ordem não linearizada (como [A]=[A] o k^dag>=r ) para determinar em quanto tempo a concentração inicial da substância chegará a 1 / 9 de sua quantidade inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o tempo de meia-vida de uma substância alimentícia, que é de 4 dias. A gente vai usar conceitos de cinética química de primeira ordem para descobrir em quanto tempo a concentração inicial dessa substância vai diminuir para 19 da quantidade original. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula de decaimento de primeira ordem e como relacionar o tempo de meia-vida com a constante de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que descreve a quantidade da substância ao longo do tempo em uma reação de primeira ordem. A equação geral é:
[A] = [A]0 cdot e^-kt
Aqui,
  • [A] é a concentração da substância no tempo t,
  • [A]0 é a concentração inicial,
  • k é a constante de velocidade,
  • e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Sabemos que o tempo de meia-vida ( t1/2) é o tempo necessário para a concentração inicial cair para metade. A relação entre o tempo de meia-vida e a constante de velocidade é dada por:
t1/2 = ln 2k
Como o tempo de meia-vida é 4 dias, podemos substituir na equação para encontrar k:
4 = ln 2k

Passo 4

Vamos isolar a constante de velocidade k:
k = ln 24
Calculando o valor de k:
k approx 0,69314 approx 0,1733 , dias^-1

Passo 5

Agora queremos encontrar o tempo t para que a concentração inicial seja reduzida para 19 de [A]0. Usamos a equação de decaimento com essa condição:
[A][A]0 = 19 = e^-kt

Passo 6

Para resolver para t, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(19) = -kt
Sabendo que ln(19) = -ln 9, temos:
-ln 9 = -kt ln 9 = kt

Passo 7

Isolando t:
t = ln 9k
Substituindo o valor de k que encontramos:
t = ln 90,1733 t approx 2,19720,1733 t approx 12,68 , dias

Resposta

A concentração inicial da substância chegará a 19 de sua quantidade original em aproximadamente 12,68 dias.

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