tina corda de 1,5 m e de peso 1,25 N está/amarrada ao teto pela sua extremidade superior e a inferior sustenta um peso p. Quando a corda é puxada suavemenke, as ondas que se deslocam para cima obedecem à equação.
y(x, t)=(8,5 m m) cos (172 m^-1 x / 270 s^-1 t)
(a) Quanto tempo leva para um pulgo percorrer toda a extensão da corda? (b) Qual é o peso p? © Qual é a equação para ondas que se deslocam para baixo na corda? (1,5 pt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de ondas em uma corda! Temos uma corda de 1,5 metros de comprimento e peso de 1,25 N, amarrada no teto e com um peso na parte de baixo. Quando puxamos a corda, ondas se movem para cima seguindo uma certa equação. Precisamos resolver três partes:
a) Quanto tempo leva para um pulso percorrer toda a extensão da corda?
b) Qual é o peso ?
c) Qual é a equação para ondas que se deslocam para baixo na corda?
Vamos usar conceitos de física de ondas, como velocidade da onda, frequência, comprimento de onda e tensão na corda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da onda que foi dada:
y(x, t) = 8,5, mm cdot cos(172, m^-1 cdot x - 270, s^-1 cdot t)
Aqui, a equação está na forma geral:
y(x, t) = A cos(kx - omega t)
Onde:
  • v = omegak é a amplitude da onda (8,5 mm),
  • é o número de onda ( ),
  • é a frequência angular ( ).
A velocidade da onda ( ) pode ser encontrada usando a relação:
Vamos calcular isso para achar o tempo que um pulso leva para percorrer a corda.

Passo 3

Calculando a velocidade da onda:
v = omegak = 270, s^-1172, m^-1 approx 1,569, m/s
Agora que sabemos a velocidade da onda, podemos calcular o tempo ( t = dv ) que um pulso leva para percorrer os 1,5 metros da corda usando:
t = 1,5, m1,569, m/s approx 0,957, segundos
Onde .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o peso v = raizTmu . Sabemos que a tensão na corda ( m = Pg = 1,25, N9,81, m/s^2 approx 0,127, kg ) é igual ao peso que ela sustenta. A relação entre a velocidade da onda, tensão e densidade linear ( mu = mL = 0,127, kg1,5, m approx 0,0847, kg/m ) da corda é dada por:
T = mu v^2 = 0,0847, kg/m times (1,569, m/s)^2 approx 0,0847 times 2,46 approx 0,208, N
Onde a densidade linear p = T approx 0,208, N é a massa por unidade de comprimento. Primeiro, precisamos achar . Sabemos que o peso total da corda é 1,25 N, então a massa da corda é:
Agora, a densidade linear é:
Rearranjando a fórmula da velocidade para encontrar a tensão :
Mas a tensão na corda também é igual ao peso na extremidade inferior. Portanto:

Passo 5

Por último, queremos a equação para ondas que se deslocam para baixo. Na equação original, a onda se move para cima com o termo y(x, t) = 8,5, mm cdot cos(172, m^-1 cdot x + 270, s^-1 cdot t) . Para ondas que se movem para baixo, o sinal do termo de tempo fica positivo. Então, a equação fica:

Resposta

a) O tempo para um pulso percorrer toda a corda é aproximadamente 0,957 segundos.
b) O peso y(x, t) = 8,5, mm cdot cos(172, m^-1 cdot x + 270, s^-1 cdot t) é de aproximadamente 0,208 N.
c) A equação para ondas que se deslocam para baixo na corda é:

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