Dados , determinar vetores e de modo que os três vetores sejam mutuamente ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor e precisamos encontrar dois vetores e de modo que os três vetores ( , e ) sejam mutuamente ortogonais. Isso significa que o produto interno (ou seja, o “produto escalar”) entre qualquer par de vetores diferentes deve ser zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores e são ortogonais se o produto interno deles for zero, ou seja:
Então, para encontrar e , precisamos que:

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor . Como ele precisa ser ortogonal a , vamos supor que e aplicar a condição de ortogonalidade:
Isso simplifica para:
Podemos escolher valores para dois dos componentes de e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher e . Substituindo na equação:
Então, um possível vetor é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Vamos supor que . Aplicando a condição de ortogonalidade com :
E com :
Temos então o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Agora, podemos escolher um valor para . Vamos escolher :
Portanto, um possível vetor é:

Resposta

Os vetores e que satisfazem a condiç��o de serem mutuamente ortogonais com são:

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Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sabendo que suas diagonais são e .
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Encontre uma base para considerando com o produto interno
Seja o produto interno Euclidiano do e sejam , e . Mostre que.