Dados u=(1,-2,1), determinar vetores v e w de modo que os três vetores sejam mutuamente ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor u = (1, -2, 1) e precisamos encontrar dois vetores v e w de modo que os três vetores ( u, v e w) sejam mutuamente ortogonais. Isso significa que o produto interno (ou seja, o “produto escalar”) entre qualquer par de vetores diferentes deve ser zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) são ortogonais se o produto interno deles for zero, ou seja:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
Então, para encontrar v e w, precisamos que:
  1. u cdot v = 0
  2. u cdot w = 0
  3. v cdot w = 0

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor v. Como ele precisa ser ortogonal a u, vamos supor que v = (v1, v2, v3) e aplicar a condição de ortogonalidade:
u cdot v = 1 cdot v1 + (-2) cdot v2 + 1 cdot v3 = 0
Isso simplifica para:
v1 - 2v2 + v3 = 0
Podemos escolher valores para dois dos componentes de v e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher v1 = 2 e v2 = 1. Substituindo na equação:
2 - 2(1) + v3 = 0 Rightarrow 2 - 2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
Então, um possível vetor v é:
v = (2, 1, 0)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor w que seja ortogonal tanto a u quanto a v. Vamos supor que w = (w1, w2, w3). Aplicando a condição de ortogonalidade com u:
u cdot w = 1 cdot w1 + (-2) cdot w2 + 1 cdot w3 = 0
E com v:
v cdot w = 2 cdot w1 + 1 cdot w2 + 0 cdot w3 = 0
Temos então o sistema de equações:
  1. w1 - 2w2 + w3 = 0
  2. 2w1 + w2 = 0
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
2w1 + w2 = 0 Rightarrow w2 = -2w1
Substituindo na primeira equação:
w1 - 2(-2w1) + w3 = 0 Rightarrow w1 + 4w1 + w3 = 0 Rightarrow 5w1 + w3 = 0
Então, w3 = -5w1.
Agora, podemos escolher um valor para w1. Vamos escolher w1 = 1:
w1 = 1 Rightarrow w2 = -2(1) = -2 w3 = -5(1) = -5
Portanto, um possível vetor w é:
w = (1, -2, -5)

Resposta

Os vetores v e w que satisfazem a condiç��o de serem mutuamente ortogonais com u são:
v = (2, 1, 0) w = (1, -2, -5)

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