Dados
, determinar vetores
e
de modo que os três vetores sejam mutuamente ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor
e precisamos encontrar dois vetores
e
de modo que os três vetores (
,
e
) sejam mutuamente ortogonais. Isso significa que o produto interno (ou seja, o “produto escalar”) entre qualquer par de vetores diferentes deve ser zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores
e
são ortogonais se o produto interno deles for zero, ou seja:
Então, para encontrar
e
, precisamos que:
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor
. Como ele precisa ser ortogonal a
, vamos supor que
e aplicar a condição de ortogonalidade:
Isso simplifica para:
Podemos escolher valores para dois dos componentes de
e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher
e
. Substituindo na equação:
Então, um possível vetor
é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor
que seja ortogonal tanto a
quanto a
. Vamos supor que
. Aplicando a condição de ortogonalidade com
:
E com
:
Temos então o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Agora, podemos escolher um valor para
. Vamos escolher
:
Portanto, um possível vetor
é:
Resposta
Os vetores
e
que satisfazem a condi�o de serem mutuamente ortogonais com
são: