Calcular a área da superfície / parte da superfície: Cilindro y + x^2 = 1, 0 <= x <= 1 limitado embaixo pelo plano z = 0 e em cima pelo plano z = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da parte da superfície definida pelo cilindro no intervalo , limitada embaixo pelo plano e em cima pelo plano . Vamos utilizar conceitos de cálculo integral para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação do cilindro: . Isso pode ser rearranjado para . Isso nos mostra que, para cada valor de entre 0 e 1, varia de 0 até .

Passo 3

Como a superfície está limitada entre os planos e , a altura da superfície em cada ponto é dada por .

Passo 4

Para calcular a área da superfície , usamos a fórmula de integração dupla para áreas de superfícies definidas por funções :
No nosso caso, , então:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

A integral representa a área da região no plano . Nosso domínio é definido por e .
Portanto:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a área fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em :

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo :

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

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