Calcular a área da superfície / parte da superfície: Parte superior da esfera situada no interior do cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da parte superior da esfera definida por que está dentro do cone dado por . Vamos usar cálculo de integrais em coordenadas esféricas para facilitar essa conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras. A esfera é a esfera unitária centrada na origem. O cone pode ser reescrito como , onde é a distância do ponto até o eixo . Esse cone tem um ângulo de 45 graus com o eixo .
Passo 3
Vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para esse tipo de problema. Nessa coordenada, temos:
Como estamos na esfera unitária, .
Passo 4
O cone em coordenadas esféricas fica:
Isso significa que o ângulo varia de a para estar dentro do cone.
Passo 5
A área superficial na esfera em coordenadas esféricas é dada por:
Como , simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar para encontrar a área desejada. varia de a (circuito completo ao redor do eixo ) e varia de a :