Calcular a área da superfície / parte da superfície: Parte superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 situada no interior do cone z = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da parte superior da esfera definida por que está dentro do cone dado por . Vamos usar cálculo de integrais em coordenadas esféricas para facilitar essa conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras. A esfera é a esfera unitária centrada na origem. O cone pode ser reescrito como , onde é a distância do ponto até o eixo . Esse cone tem um ângulo de 45 graus com o eixo .

Passo 3

Vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para esse tipo de problema. Nessa coordenada, temos:
Como estamos na esfera unitária, .

Passo 4

O cone em coordenadas esféricas fica:
Isso significa que o ângulo varia de a para estar dentro do cone.

Passo 5

A área superficial na esfera em coordenadas esféricas é dada por:
Como , simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar para encontrar a área desejada. varia de a (circuito completo ao redor do eixo ) e varia de a :

Passo 7

Vamos fazer a integral em primeiro:

Passo 8

Agora, integramos em :

Passo 9

Simplificando a expressão:

Resposta

A área da superfície é .

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