Calcular a área da superfície / parte da superfície: Parte superior da esfera
situada no interior da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da parte superior da esfera definida por
que está dentro da superfície
. Vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender equações de superfícies, coordenadas esféricas e como integrar para encontrar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas superfícies envolvidas. A esfera
é uma esfera de raio 1 centrada na origem. A parte superior dessa esfera é onde
.
A equação
define outra superfície no espaço. Para simplificar, podemos analisar essa equação no plano
, ou seja, no plano xy.
Passo 3
No plano xy, a equação
se torna
, já que
em coordenadas polares. Portanto, temos:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Então, a fronteira onde as duas superfícies se encontram é definida por
.
Passo 5
Agora, vamos voltar à esfera. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser descrito por:
Como estamos considerando a parte superior da esfera,
varia de
a
.
Passo 6
A área superficial em coordenadas esféricas é dada por:
Portanto, a área que queremos calcular será a integral dupla dessa expressão sobre os limites definidos pela interseção das superfícies.
Passo 7
Precisamos encontrar os limites de integração. A interseção ocorre quando
. Em coordenadas esféricas,
. Portanto:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos relacionar
e
.
Passo 8
Após simplificar as equações, determinamos os limites para
. A expressão
é não negativa quando
está no primeiro ou quarto quadrante, ou seja,
.
Passo 9
Agora, configuramos a integral para a área:
Passo 10
Integrando em relação a
:
Passo 11
Substituindo de volta na integral de
:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou usando técnicas avançadas de cálculo.
Passo 12
Após calcular a integral, obtemos o valor da área desejada.
Resposta
A área da parte superior da esfera
situada no interior da superfície
é igual a aproximadamente [valor numérico após a integração].