Calcular a área da superfície / parte da superfície: Cilindro
limitado pelo cilindro
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo cilindros. Precisamos calcular a área da superfície do cilindro definido por
limitada pelo cilindro
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre cálculo de áreas de superfícies em coordenadas cartesianas e integração múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dos cilindros. O cilindro
é um cilindro circular reto com raio 2, paralelo ao eixo y. Já o cilindro
também é um cilindro circular reto com raio 2, paralelo ao eixo z. A interseção desses dois cilindros forma uma região de interesse para o cálculo da área.
Passo 3
Para calcular a área da superfície do cilindro
limitada pelo cilindro
, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Usando coordenadas cilíndricas, podemos expressar
e
, onde
varia de 0 a
.
Passo 4
A altura do cilindro é limitada pelo segundo cilindro
. Substituindo
na equação do segundo cilindro, temos:
Isso indica que a variável y varia de
a
para cada
.
Passo 5
Agora, para calcular a área superficial, usamos a fórmula da área em coordenadas paramétricas:
onde
.
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial
é:
A magnitude desse vetor é:
Passo 6
Agora, configuramos a integral para a área:
Primeiro, integramos em relação a y:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Calculando a integral:
No entanto, isso sugere que a área calculada é zero, o que indica um erro no processo. A razão é que a parametrização usada não capturou corretamente a região de interseção dos cilindros.
Passo 8
Para corrigir, notamos que a área da superfície do cilindro
limitada pelo cilindro
corresponde à área da interseção desses cilindros, conhecida como superfície de Steinmetz. A área total dessa interseção é dada por:
Resposta
A área da superfície do cilindro
limitada pelo cilindro
é
unidades de área.