Calcular a área da superfície / parte da superfície: Esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2az dentro do cone z = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área da parte da superfície da esfera que está dentro do cone . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender como essas duas superfícies se intersectam e então calcular a área desejada usando integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera. A equação dada é . Podemos reescrever isso completando o quadrado:
Isso mostra que temos uma esfera de raio centrada no ponto .

Passo 3

Agora, vamos analisar o cone . Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar:
Este é o cone circular reto com vértice na origem e abrindo para cima.

Passo 4

Para encontrar a região da esfera que está dentro do cone, precisamos determinar onde essas duas superfícies se intersectam. Vamos igualar as duas equações:
Substituindo na equação da esfera:
Dividindo ambos os lados por 2:
Vamos chamar , então:
Então, a interseção ocorre quando , ou seja, e .

Passo 5

Agora, para calcular a área da superfície da esfera dentro do cone, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por , onde:
  • é o raio,
  • é o ângulo polar (desde o eixo z),
  • é o ângulo azimutal.
A equação da esfera centrada em pode ser convertida para coordenadas esféricas, mas para simplificar, notamos que a área a ser calculada está limitada pelo ângulo onde o cone intercepta a esfera.

Passo 6

O cone em coordenadas esféricas tem ou radianos, pois .
A área de uma superfície esférica limitada por um ângulo é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
Sabemos que , então:

Resposta

A área da parte da superfície da esfera dentro do cone é .

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