Calcular a área da superfície / parte da superfície: Esfera
dentro do cone
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área da parte da superfície da esfera
que está dentro do cone
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender como essas duas superfícies se intersectam e então calcular a área desejada usando integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera. A equação dada é
. Podemos reescrever isso completando o quadrado:
Isso mostra que temos uma esfera de raio
centrada no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o cone
. Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar:
Este é o cone circular reto com vértice na origem e abrindo para cima.
Passo 4
Para encontrar a região da esfera que está dentro do cone, precisamos determinar onde essas duas superfícies se intersectam. Vamos igualar as duas equações:
Substituindo
na equação da esfera:
Dividindo ambos os lados por 2:
Vamos chamar
, então:
Então, a interseção ocorre quando
, ou seja,
e
.
Passo 5
Agora, para calcular a área da superfície da esfera dentro do cone, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é o raio, -
é o ângulo polar (desde o eixo z), -
é o ângulo azimutal.
A equação da esfera centrada em
pode ser convertida para coordenadas esféricas, mas para simplificar, notamos que a área a ser calculada está limitada pelo ângulo onde o cone intercepta a esfera.
Passo 6
O cone
em coordenadas esféricas tem
ou
radianos, pois
.
A área de uma superfície esférica limitada por um ângulo
é dada por:
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área da parte da superfície da esfera dentro do cone é
.