Sabendo que a E.D.O. x^2 y'' - 4 x y' + 6 y = 0 com x > 0, possui y1(x) = x^3 como solução, determine a sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) dada: para . A gente sabe que é uma solução dessa equação. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs de coeficientes variáveis e métodos para encontrar soluções gerais quando já temos uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial de Euler ou Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
Essas equações são resolvidas assumindo soluções do tipo , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Sabemos que é uma solução. Vamos usar isso para encontrar a solução geral. Para equações de segunda ordem, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções independentes. Já temos uma delas, então precisamos encontrar a outra.

Passo 4

Para encontrar a segunda solução , vamos usar o método de redução de ordem. A ideia é assumir que , onde é uma função que vamos determinar.

Passo 5

Substituindo na equação original e simplificando, chegamos a uma equação para . Após os cálculos, descobrimos que:
Integrando, encontramos:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Multiplicando por , obtemos a segunda solução:
Para simplificar, podemos ignorar a constante negativa e reescrever como:

Passo 7

Agora que temos as duas soluções lineares independentes, e , podemos escrever a solução geral da EDO como uma combinação linear delas:
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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