Sabendo que a E.D.O.
com
, possui
como solução, determine a sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) dada:
para
. A gente sabe que
é uma solução dessa equação. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs de coeficientes variáveis e métodos para encontrar soluções gerais quando já temos uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial de Euler ou Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
Essas equações são resolvidas assumindo soluções do tipo
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Sabemos que
é uma solução. Vamos usar isso para encontrar a solução geral. Para equações de segunda ordem, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções independentes. Já temos uma delas, então precisamos encontrar a outra.
Passo 4
Para encontrar a segunda solução
, vamos usar o método de redução de ordem. A ideia é assumir que
, onde
é uma função que vamos determinar.
Passo 5
Substituindo
na equação original e simplificando, chegamos a uma equação para
. Após os cálculos, descobrimos que:
Integrando, encontramos:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Multiplicando
por
, obtemos a segunda solução:
Para simplificar, podemos ignorar a constante negativa e reescrever
como:
Passo 7
Agora que temos as duas soluções lineares independentes,
e
, podemos escrever a solução geral da EDO como uma combinação linear delas:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: