Encontre a solução geral da E.D.O
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (E.D.O)
. Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos para encontrar soluções gerais dessas equações, utilizando conceitos como equações características e raízes complexas.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial dada:
Essa é uma E.D.O linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos a equação característica associada. Substituímos
por
, onde
é uma constante a ser determinada. Derivando:
Substituindo na E.D.O:
Passo 4
Fatorando
(que nunca é zero):
Logo, a equação característica é:
Passo 5
Resolvemos a equação característica:
Sabemos que
(unidade imaginária), então:
Passo 6
As raízes são complexas e conjugadas (
e
). Para raízes desse tipo, a solução geral da E.D.O é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 7
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da E.D.O
é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.