Calcular
e
para que
seja solução particular da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de
,
e
de forma que o polinômio
seja uma solução particular da equação diferencial:
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas, e vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular assumindo uma forma específica para ela, baseada no termo do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução particular
tem a forma de um polinômio de segundo grau, já que o lado direito da equação é um polinômio de segundo grau (
). Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Agora, vamos distribuir e simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 7
Vamos substituir o valor de
na segunda equação:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na terceira equação:
Resposta
Os valores que satisfazem a equação são:
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Calcule os limites:
Calcular
e
para que
seja solução particular da equação
Calcular a solução geral da equação
Aplique o método da variação dos parâmetros para obter uma solução particular da equação.