Calcular e para que seja solução particular da equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de , e de forma que o polinômio seja uma solução particular da equação diferencial:
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas, e vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular assumindo uma forma específica para ela, baseada no termo do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução particular tem a forma de um polinômio de segundo grau, já que o lado direito da equação é um polinômio de segundo grau ( ). Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Agora, vamos distribuir e simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 7

Vamos substituir o valor de na segunda equação:

Passo 8

Agora, substituímos e na terceira equação:

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
Calcule os limites:
Calcular e para que seja solução particular da equação
Calcular a solução geral da equação
Aplique o método da variação dos parâmetros para obter uma solução particular da equação.