Calcule os limites: lim x -2 x^4+2 x^3-5 x^2-12 x-42 x^4+7 x^3+2 x^2-12 x-8

Passo 1

Resumo da Questão
Precisamos calcular o limite:
limx -2 x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 12x - 42x^4 + 7x^3 + 2x^2 - 12x - 8
Vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios para resolver esse problema.

Passo 2

Verificar o Tipo de Limite
Primeiro, vamos substituir (-2)^4 + 2(-2)^3 - 5(-2)^2 - 12(-2) - 4 = 16 - 16 - 20 + 24 - 4 = 0 diretamente na expressão para ver qual o tipo de limite temos:
  • Numerador:
2(-2)^4 + 7(-2)^3 + 2(-2)^2 - 12(-2) - 8 = 32 - 56 + 8 + 24 - 8 = 0
  • Denominador:
Obtemos , que é uma indeterminação. Isso nos indica que podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.

Passo 3

Fatorar o Numerador
Vamos fatorar o polinômio do numerador:
x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 12x - 4
Sabemos que x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 12x - 4 = (x + 2)^2 (x^2 - 2x - 1) é uma raiz (pois substituindo obtemos 0), então é um fator.
Utilizando a divisão polinomial ou o Teorema das Raízes, fatoramos:

Passo 4

Fatorar o Denominador
Agora, vamos fatorar o polinômio do denominador:
2x^4 + 7x^3 + 2x^2 - 12x - 8
Sabemos que 2x^4 + 7x^3 + 2x^2 - 12x - 8 = (x + 2)(2x^3 + 3x^2 - 4x + 4) também é uma raiz aqui, então é um fator.
Após a fatoração, temos:

Passo 5

Simplificar a Expressão do Limite
Substituindo as fatorações no limite original:
limx -2 (x + 2)^2 (x^2 - 2x - 1)(x + 2)(2x^3 + 3x^2 - 4x + 4) = limx -2 (x + 2)(x^2 - 2x - 1)2x^3 + 3x^2 - 4x + 4
Aqui, podemos cancelar um fator no numerador e denominador, pois (estamos calculando o limite, não o valor exato em ).

Passo 6

Calcular o Limite Simplificado
Agora, substituímos ( -2 + 2)( (-2)^2 - 2(-2) - 1)2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) + 4 na expressão simplificada:
(-2 + 2) = 0
Calculando cada parte:
  • Numerador:
2(-8) + 3(4) - 4(-2) + 4 = -16 + 12 + 8 + 4 = 8
  • Denominador:
08 = 0
Então, temos:

Resposta

O limite é .

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