Calcular a capacidade de transporte de eletricidade de um fio de cobre com diâmetro 1,02 mm, revestido uniformemente por uma camada de isolamento plástico cujo diâmetro exterior é 3.05 mm . O plástico tem condutibilidade térmica kplastico = 0,35 plástico
) e a máxima temperatura a que pode estar submetido é
. O cobre tem condutibilidade térmica
e condutividade eléctrica
Ohm-1 cm-1. A temperatura do ar exterior é
e o coeficiente de convecção
. Além da corrente eléctrica máxima, calcular ainda a temperatura no centro do fio de cobre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a capacidade de transporte de eletricidade de um fio de cobre com isolamento plástico. Para isso, vamos usar conceitos de condução térmica e resistência elétrica. Precisaremos aplicar fórmulas de condução de calor, lei de Ohm e entender como a temperatura do fio afeta a corrente que ele pode conduzir sem esquentar demais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do fio. O diâmetro do fio de cobre é de 1,02 mm, e com o isolamento plástico, o diâmetro total é de 3,05 mm. Vamos converter esses diâmetros para metros para facilitar os cálculos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas da seção transversal do cobre e do plástico. A área da seção transversal do cobre é:
A área da seção transversal total (cobre + plástico) é:
Passo 4
Vamos calcular a resistência elétrica do fio de cobre usando a fórmula:
Onde:
- $ R $ é a resistência,
- $ \rho $ é a resistividade elétrica,
- $ L $ é o comprimento (vamos considerar 1 metro para simplificação),
- $ A $ é a área da seção transversal.
A resistividade ($ \rho
\sigma $) por $ \rho = \frac{1}{\sigma} $. Então:
Assim, a resistência do fio de 1 metro é:
Passo 5
Agora, vamos considerar a dissipação de calor. A potência elétrica dissipada no fio é convertida em calor, que deve ser dissipada pelo isolamento plástico e pela convecção com o ar. A potência $ P $ é dada por:
Onde $ I $ é a corrente elétrica. Essa potência deve ser igual à potência dissipada pelo isolamento e pela convecção.
Passo 6
A dissipação de calor pela condução no isolamento plástico é dada por:
E pela convecção:
Como estamos considerando 1 metro de fio, $ L = 1 , m $. Vamos somar as duas potências:
Passo 7
Igualando a potência dissipada à potência elétrica:
Sabemos que a temperatura máxima do fio é $ T_{max} = 93^{\circ} \mathrm{C} $ e a temperatura do ar é $ T_{ar} = 38^{\circ} \mathrm{C} $, então $ T_{fio} - T_{ar} = 55^{\circ} \mathrm{C} $.
Passo 8
Substituindo os valores na equação:
Calculando cada termo:
Passo 9
Agora, voltamos à equação inicial para encontrar a corrente $ I $:
Resposta
A corrente elétrica máxima que o fio de cobre pode transportar é aproximadamente 33,75 A. Além disso, a temperatura no centro do fio de cobre atinge os 93°C, que é a temperatura máxima permitida.