Calcular a capacidade de transporte de eletricidade de um fio de cobre com diâmetro 1,02 mm, revestido uniformemente por uma camada de isolamento plástico cujo diâmetro exterior é 3.05 mm . O plástico tem condutibilidade térmica kplastico = 0,35 plástico W /(m ^circ C ) e a máxima temperatura a que pode estar submetido é 93^circ C. O cobre tem condutibilidade térmica k cobre =380 W /(m^circ C) e condutividade eléctrica ke, cobre=5,1 times 105 Ohm-1 cm-1. A temperatura do ar exterior é 38^circ C e o coeficiente de convecção he=8,5 W /(m^2 ^circ C). Além da corrente eléctrica máxima, calcular ainda a temperatura no centro do fio de cobre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a capacidade de transporte de eletricidade de um fio de cobre com isolamento plástico. Para isso, vamos usar conceitos de condução térmica e resistência elétrica. Precisaremos aplicar fórmulas de condução de calor, lei de Ohm e entender como a temperatura do fio afeta a corrente que ele pode conduzir sem esquentar demais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do fio. O diâmetro do fio de cobre é de 1,02 mm, e com o isolamento plástico, o diâmetro total é de 3,05 mm. Vamos converter esses diâmetros para metros para facilitar os cálculos:
dcobre = 1,02 , mm = 0,00102 , m
dtotal = 3,05 , mm = 0,00305 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas da seção transversal do cobre e do plástico. A área da seção transversal do cobre é:
Acobre = pi (dcobre2)^2 = pi (0,001022)^2 approx 8,17 times 10^-6 , m^2
A área da seção transversal total (cobre + plástico) é:
Atotal = pi (dtotal2)^2 = pi (0,003052)^2 approx 7,31 times 10^-5 , m^2

Passo 4

Vamos calcular a resistência elétrica do fio de cobre usando a fórmula:
R = rho cdot LA
Onde:
  • $ R $ é a resistência,
  • $ \rho $ é a resistividade elétrica,
  • $ L $ é o comprimento (vamos considerar 1 metro para simplificação),
  • $ A $ é a área da seção transversal.
A resistividade ($ \rho R áàé \sigma $) por $ \rho = \frac{1}{\sigma} $. Então:
rho
Assim, a resistência do fio de 1 metro é:
L

Passo 5

Agora, vamos considerar a dissipação de calor. A potência elétrica dissipada no fio é convertida em calor, que deve ser dissipada pelo isolamento plástico e pela convecção com o ar. A potência $ P $ é dada por:
P
Onde $ I $ é a corrente elétrica. Essa potência deve ser igual à potência dissipada pelo isolamento e pela convecção.

Passo 6

A dissipação de calor pela condução no isolamento plástico é dada por:
Pcond = 2 pi kplástico L (Tfio - Tar)ln (dtotaldcobre) á
E pela convecção:
Pconv = 2 pi he L (Tfio - Tar)
Como estamos considerando 1 metro de fio, $ L = 1 , m $. Vamos somar as duas potências:
L = 1 , m

Passo 7

Igualando a potência dissipada à potência elétrica:
I^2 R = 2 pi kplástico (Tfio - Tar)ln (dtotaldcobre) + 2 pi he (Tfio - Tar) á
Sabemos que a temperatura máxima do fio é $ T_{max} = 93^{\circ} \mathrm{C} $ e a temperatura do ar é $ T_{ar} = 38^{\circ} \mathrm{C} $, então $ T_{fio} - T_{ar} = 55^{\circ} \mathrm{C} $.

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
I^2 times 0,24 = 2 pi times 0,35 times 55ln (0,003050,00102) + 2 pi times 8,5 times 55
Calculando cada termo:
ln (0,003050,00102) approx ln(3) approx 1,0986
Pcond = 2 pi times 0,35 times 551,0986 approx 111,2 , W
Pconv = 2 pi times 8,5 times 55 approx 2,948 times 55 approx 162,1 , W
Ptotal = 111,2 + 162,1 = 273,3 , W

Passo 9

Agora, voltamos à equação inicial para encontrar a corrente $ I $:
I
I^2 times 0,24 = 273,3
I^2 = 273,30,24 approx 1138,75

Resposta

A corrente elétrica máxima que o fio de cobre pode transportar é aproximadamente 33,75 A. Além disso, a temperatura no centro do fio de cobre atinge os 93°C, que é a temperatura máxima permitida.

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