Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r1
r1: x-34=y-31=z+22 raiz2
e a reta r2
r2=x+1-1=y+74=z-52 raiz2
Resposta: cos (theta)=8 / 25

Passo 1

Vamos calcular o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. O enunciado nos dá as equações das retas e . Para resolver isso, precisamos lembrar que o cosseno do ângulo entre duas retas pode ser encontrado usando os vetores diretores das retas. Portanto, vamos identificar os vetores diretores de cada reta e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x - 34 = y - 31 = z + 22raiz2 e x + 1-1 = y + 74 = z - 52raiz2 . Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes que acompanham os parâmetros são os componentes dos vetores diretores.
Para a reta :
O vetor diretor de é .
Para a reta :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| e , podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e e são as magnitudes (ou normas) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (4)(-1) + (1)(4) + (2raiz2)(2raiz2) = -4 + 4 + 8 = 8 :

Passo 5

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores |u| = raiz4^2 + 1^2 + (2raiz2)^2 = raiz16 + 1 + 8 = raiz25 = 5 e |v| = raiz(-1)^2 + 4^2 + (2raiz2)^2 = raiz1 + 16 + 8 = raiz25 = 5 :

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 85 times 5 = 825

Resposta

cos(theta) = 825

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