Verifique quais dos conjuntos abaixo são linearmente independentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais dos três conjuntos de matrizes dadas são linearmente independentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com a ideia de independência linear de vetores, mas aplicado a matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como testar se um conjunto de vetores (ou no nosso caso, matrizes) é linearmente independente, usando conceitos como combinações lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. No nosso caso, queremos saber se a única combinação linear das três matrizes que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 3
Vamos chamar as matrizes dadas de , e :
Queremos encontrar se existem escalares , , e tais que:
Passo 4
Vamos montar essa equação matricial:
Isso resulta em um sistema de equações baseado nos elementos correspondentes das matrizes:
Passo 5
Agora, temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de y + z = 0 implies y = -z , x + (-z) + 2z = 0 implies x + z = 0 implies x = -z , e (-z) + 2(-z) + 3z = 0 implies -z - 2z + 3z = 0 implies 0 = 0 .
Percebemos que todas as equações se reduzem a , o que significa que temos infinitas soluções, ou seja, existem valores de diferentes de zero que satisfazem o sistema.
Passo 6
Como encontramos que existem soluções não triviais (onde ), isso significa que as matrizes , e são linearmente dependentes. Em outras palavras, pelo menos uma das matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.