Verifique quais dos conjuntos abaixo são linearmente independentes: (ll1 & 1 0 & 3),(cc2 & 1 1 & -3),(ll3 & 2 1 & 0) in M2(R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais dos três conjuntos de matrizes dadas são linearmente independentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com a ideia de independência linear de vetores, mas aplicado a matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como testar se um conjunto de vetores (ou no nosso caso, matrizes) é linearmente independente, usando conceitos como combinações lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. No nosso caso, queremos saber se a única combinação linear das três matrizes que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Vamos chamar as matrizes dadas de A = 1 & 1 0 & 3 , B = 2 & 1 1 & -3 , C = 3 & 2 1 & 0 , xA + yB + zC = 0 & 0 0 & 0 e :
Queremos encontrar se existem escalares , , e tais que:

Passo 4

Vamos montar essa equação matricial:
x 1 & 1 0 & 3 + y 2 & 1 1 & -3 + z 3 & 2 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta em um sistema de equações baseado nos elementos correspondentes das matrizes:
x cdot 1 + y cdot 2 + z cdot 3 = 0 (1) x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 2 = 0 (2) x cdot 0 + y cdot 1 + z cdot 1 = 0 (3) x cdot 3 + y cdot (-3) + z cdot 0 = 0 (4)

Passo 5

Agora, temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de y + z = 0 implies y = -z , x + (-z) + 2z = 0 implies x + z = 0 implies x = -z , e (-z) + 2(-z) + 3z = 0 implies -z - 2z + 3z = 0 implies 0 = 0 .
Da equação (3):
3(-z) + (-3)(-z) + 0 = 0 implies -3z + 3z = 0 implies 0 = 0
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo e na equação (1):
A equação (4):
Percebemos que todas as equações se reduzem a , o que significa que temos infinitas soluções, ou seja, existem valores de diferentes de zero que satisfazem o sistema.

Passo 6

Como encontramos que existem soluções não triviais (onde ), isso significa que as matrizes , e são linearmente dependentes. Em outras palavras, pelo menos uma das matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.

Resposta

As três matrizes são linearmente dependentes.

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