Calcular as derivadas parciais indicadas:
16)
?,
?
16)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve várias variáveis:
,
e
. A equação é:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde as variáveis estão todas misturadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero, o que facilita na hora de derivar:
Isso nos ajuda a aplicar a derivada de forma mais organizada.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembrando que
é tratada como constante ao derivar com relação a
.
- Derivada de
em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, derivando
e deixando o resto constante, e depois mantendo
constante e derivando
.
- Derivada de
em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada da logaritmo é
, onde
.
- Derivada de
em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 4
Juntando todas as derivadas, temos:
Vamos organizar os termos que contêm
:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
E então:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos repetir o processo para
. Desta vez, vamos derivar a equação em relação a
, tratando
como constante.
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 7
Juntando tudo:
Organizando os termos com
:
Passo 8
Isolando
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
Exercícios relacionados
onde
é a população inicial,
é a população limite, (isto é: se
, então
),
é uma medida de quanto espaço há para crescer, dada por
e
é a constante de proporcionalidade que satisfaz a equação: (taxa de variação instantânea de
no momento
. A função logística é utilizada não só para modelar o crescimento de organismos, mas também é frequentemente utilizada para modelar a propagação de doenças e rumores.
O número de pessoas
, em centenas, num colégio comunitário local que ouviram o boato
onde
é o número de dias depois do dia 01 de abril de 2009.
(a) Determine e interprete ;
(a) Determine e interprete
Encontre o domínio de f se
Nos Exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.
Calcular as derivadas parciais indicadas:
-
?, ?, R