Calcular as derivadas parciais indicadas:
16) ?, ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve várias variáveis: , e . A equação é:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde as variáveis estão todas misturadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero, o que facilita na hora de derivar:
Isso nos ajuda a aplicar a derivada de forma mais organizada.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembrando que é tratada como constante ao derivar com relação a .
  1. Derivada de em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, derivando e deixando o resto constante, e depois mantendo constante e derivando .
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada da logaritmo é , onde .
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Juntando todas as derivadas, temos:
Vamos organizar os termos que contêm :

Passo 5

Agora, vamos isolar :
E então:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos repetir o processo para . Desta vez, vamos derivar a equação em relação a , tratando como constante.
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 7

Juntando tudo:
Organizando os termos com :

Passo 8

Isolando :
Multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

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