Calcular as derivadas parciais indicadas:
4)
?,
?
4)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é
. Precisamos encontrar as derivadas segundas parciais
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Calculando as derivadas individuais:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
novamente em relação a
:
Passo 6
Derivando cada termo:
Passo 7
Juntando tudo:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada mista
. Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 9
Calculando as derivadas individuais:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 11
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Resposta
Exercícios relacionados
Nos Exercicios de 1 a 24, derive a funçäo dada, aplicando os teoremas desta seccão.
Calcular as derivadas parciais indicadas:
15)
15)
Calcular as derivadas parciais indicadas:
6) ?, R
6)