Calcular as derivadas parciais indicadas:
15)
15)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada de
em relação a
. A matéria aqui é cálculo, mais especificamente derivadas parciais e como elas se aplicam a funções que dependem de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente para derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
está definida:
Aqui,
e
também são funções de
:
Então, substituindo
e
na expressão de
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Para isso, vamos usar a regra do quociente. Se temos uma função
, sua derivada é:
Aplicando isso à nossa função
, onde:
Primeiro, vamos achar as derivadas de
e
:
Então, a primeira derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo da segunda derivada. Vamos expandir os produtos no numerador:
Subtraindo as duas expressões:
Então, a primeira derivada simplificada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar
novamente em relação a
.
Temos:
Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar essa expressão. Seja:
Primeiro, encontramos as derivadas de
e
:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo as expressões:
Simplificando a expressão:
Fatorando e simplificando mais:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine os limites, caso existam: e b)
.
Nos Exercicios de 25 a 36, calcule a derivada indicada, aplicando os teoremas desta seccão.
Nos Exercicios de 1 a 24, derive a funçäo dada, aplicando os teoremas desta seccão.
Calcular as derivadas parciais indicadas:
4) ?,
?
4)