Calcular as derivadas parciais indicadas:
15)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada de em relação a . A matéria aqui é cálculo, mais especificamente derivadas parciais e como elas se aplicam a funções que dependem de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente para derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida:
Aqui, e também são funções de :
Então, substituindo e na expressão de , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Para isso, vamos usar a regra do quociente. Se temos uma função , sua derivada é:
Aplicando isso à nossa função , onde:
Primeiro, vamos achar as derivadas de e :
Então, a primeira derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo da segunda derivada. Vamos expandir os produtos no numerador:
Subtraindo as duas expressões:
Então, a primeira derivada simplificada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar novamente em relação a .
Temos:
Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar essa expressão. Seja:
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo as expressões:
Simplificando a expressão:
Fatorando e simplificando mais:

Resposta

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4) ?, ?