Calcular qual deve ser o ângulo de inclinação de um plano perfeitamente liso, em relação à horizontal, de modo que um corpo deslizando sobre o mesmo, com velocidade inicial 1,0 m / s adquira, ao fim do terceiro segundo de movimento, uma velocidade duas vezes maior da que possuia ao fim do primeiro segundo de movimento.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática, que estuda o movimento dos corpos. O enunciado pede para encontrar o ângulo de inclinação de um plano liso (sem atrito) onde um corpo, ao deslizar com uma velocidade inicial de , tenha ao fim de 3 segundos uma velocidade que seja duas vezes maior do que a velocidade que ele tem ao fim de 1 segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de movimento com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o corpo está deslizando por um plano inclinado sem atrito. A única força que causa aceleração no corpo é a componente do peso na direção do plano, que é dada por , onde é a aceleração da gravidade ( ²) e é o ângulo de inclinação que queremos encontrar.

Passo 3

Como a aceleração é constante, podemos usar a fórmula da velocidade final em função do tempo:
v(t) = v0 + a cdot t
Aqui, é a velocidade no tempo , é a velocidade inicial ( ), e é a aceleração ( ).

Passo 4

Vamos calcular a velocidade ao final de 1 segundo ( v(1) = 1,0 + g sin(theta) cdot 1 ) e ao final de 3 segundos ( v(3) = 1,0 + g sin(theta) cdot 3 ):

Passo 5

Segundo o enunciado, a velocidade após 3 segundos deve ser o dobro da velocidade após 1 segundo:
v(3) = 2 cdot v(1)
Substituindo as expressões de 1,0 + 3g sin(theta) = 2 cdot (1,0 + g sin(theta)) e :

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar 1,0 + 3g sin(theta) = 2 + 2g sin(theta) :
1,0 + g sin(theta) = 2
Subtraindo g sin(theta) = 1 de ambos os lados:
sin(theta) = 1g
Subtraindo 1,0 de ambos os lados:
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos o valor de sin(theta) = 19,81 approx 0,102 :
theta = arcsin(0,102)
Para encontrar o ângulo , usamos a função arco seno:

Passo 8

Calculando o valor de theta approx 5,84^circ :

Resposta

O ângulo de inclinação necessário é aproximadamente .

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