Calcular qual deve ser o ângulo de inclinação de um plano perfeitamente liso, em relação à horizontal, de modo que um corpo deslizando sobre o mesmo, com velocidade inicial
adquira, ao fim do terceiro segundo de movimento, uma velocidade duas vezes maior da que possuia ao fim do primeiro segundo de movimento.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cinemática, que estuda o movimento dos corpos. O enunciado pede para encontrar o ângulo de inclinação de um plano liso (sem atrito) onde um corpo, ao deslizar com uma velocidade inicial de
, tenha ao fim de 3 segundos uma velocidade que seja duas vezes maior do que a velocidade que ele tem ao fim de 1 segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de movimento com aceleração constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o corpo está deslizando por um plano inclinado sem atrito. A única força que causa aceleração no corpo é a componente do peso na direção do plano, que é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade (
) e
é o ângulo de inclinação que queremos encontrar.
Passo 3
Como a aceleração é constante, podemos usar a fórmula da velocidade final em função do tempo:
Aqui,
é a velocidade no tempo
,
é a velocidade inicial (
), e
é a aceleração (
).
Passo 4
Vamos calcular a velocidade ao final de 1 segundo (
) e ao final de 3 segundos (
):
Passo 5
Segundo o enunciado, a velocidade após 3 segundos deve ser o dobro da velocidade após 1 segundo:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 1,0 de ambos os lados:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de
:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco seno:
Passo 8
Calculando o valor de
:
Resposta
O ângulo de inclinação necessário é aproximadamente
.