Monte a equação diferencial e mostre que solução consiste numaa amplitude que decai exponencialmente com o tempo vezes uma parte harmônica para o amortecimento subcrítico (omega0 onde omega0^2=k / m).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos montar a equação diferencial que descreve um sistema massa-mola com amortecimento subcrítico e, em seguida, mostrar que a solução dessa equação tem uma amplitude que decai exponencialmente com o tempo, multiplicada por uma parte harmônica. Para isso, vamos usar conceitos de movimento oscilatório amortecido e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um sistema massa-mola com massa m, constante elástica k e coeficiente de amortecimento b. Quando esse sistema oscila, ele é afetado pela força da mola e pela força de amortecimento.

Passo 3

A força da mola é dada por Hooke e pode ser expressa como:
Fmola = -k x
onde x é o deslocamento da posição de equilíbrio.
A força de amortecimento, que depende da velocidade, é:
Famortecimento = -b dxdt

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
F = m d^2xdt^2
Substituindo as forças que atuam no sistema:
-k x - b dxdt = m d^2xdt^2

Passo 5

Rearranjando os termos para trazer todos para o lado esquerdo da equação:
m d^2xdt^2 + b dxdt + k x = 0
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola com amortecimento.

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma exponencial:
x(t) = e^lambda t
Substituindo essa forma na equação, obtemos a equação característica:
m lambda^2 + b lambda + k = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática para lambda:
lambda = -b pm raizb^2 - 4 m k2 m

Passo 8

A condição para amortecimento subcrítico (ou subamortecido) é que o discriminante seja positivo:
b^2 - 4 m k > 0
Isso implica que:
omega0 = raizkm > b2m
onde omega0 é a frequência natural do sistema sem amortecimento.

Passo 9

Com as raízes lambda1 e lambda2 sendo reais e negativas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C1 e^lambda1 t + C2 e^lambda2 t
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 10

Podemos reescrever a solução de forma mais intuitiva, combinando as exponenciais e a parte harmônica:
x(t) = A e^-gamma t cos(omega' t + phi)
onde:
  • A é a amplitude inicial,
  • gamma = b2m é a taxa de decaimento exponencial,
  • omega' = raizomega0^2 - gamma^2 é a frequência angular amortecida,
  • phi é a fase inicial.
Essa forma mostra claramente que a amplitude do movimento decai exponencialmente ao longo do tempo enquanto oscila harmonicamente, caracterizando o amortecimento subcrítico.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = A e^-gamma t cos(omega' t + phi)
onde:
  • A é a amplitude inicial,
  • gamma = b2m,
  • omega' = raizomega0^2 - gamma^2 com omega0 = raizkm,
  • phi é a fase inicial.
Isso mostra que a amplitude decai exponencialmente com o tempo multiplicada por uma parte harmônica, caracterizando o amortecimento subcrítico.

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