Monte a equação diferencial e mostre que solução consiste numaa amplitude que decai exponencialmente com o tempo vezes uma parte harmônica para o amortecimento subcrítico
onde
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos montar a equação diferencial que descreve um sistema massa-mola com amortecimento subcrítico e, em seguida, mostrar que a solução dessa equação tem uma amplitude que decai exponencialmente com o tempo, multiplicada por uma parte harmônica. Para isso, vamos usar conceitos de movimento oscilatório amortecido e resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um sistema massa-mola com massa
, constante elástica
e coeficiente de amortecimento
. Quando esse sistema oscila, ele é afetado pela força da mola e pela força de amortecimento.
Passo 3
A força da mola é dada por Hooke e pode ser expressa como:
onde
é o deslocamento da posição de equilíbrio.
A força de amortecimento, que depende da velocidade, é:
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Substituindo as forças que atuam no sistema:
Passo 5
Rearranjando os termos para trazer todos para o lado esquerdo da equação:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola com amortecimento.
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma exponencial:
Substituindo essa forma na equação, obtemos a equação característica:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática para
:
Passo 8
A condição para amortecimento subcrítico (ou subamortecido) é que o discriminante seja positivo:
Isso implica que:
onde
é a frequência natural do sistema sem amortecimento.
Passo 9
Com as raízes
e
sendo reais e negativas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 10
Podemos reescrever a solução de forma mais intuitiva, combinando as exponenciais e a parte harmônica:
onde:
-
é a amplitude inicial, -
é a taxa de decaimento exponencial, -
é a frequência angular amortecida, -
é a fase inicial.
Essa forma mostra claramente que a amplitude do movimento decai exponencialmente ao longo do tempo enquanto oscila harmonicamente, caracterizando o amortecimento subcrítico.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde:
-
é a amplitude inicial, -
, -
com , -
é a fase inicial.
Isso mostra que a amplitude decai exponencialmente com o tempo multiplicada por uma parte harmônica, caracterizando o amortecimento subcrítico.