Uma esfera isolante de raio e carga é envolta por uma casca esférica também isolante de raio interno e raio externo . Sendo a carga no interior da casca esférica (distribuída uniformemente pela estrutura da casca) calcule o campo elétrico nas regiões , e .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma esfera isolante de raio com carga total . Essa esfera está envolta por uma casca esférica isolante que tem um raio interno e um raio externo . A carga está distribuída uniformemente pela estrutura da casca. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes:
Dentro da esfera isolante ()
Entre a esfera isolante e o início da casca ()
Dentro da casca esférica ()
Fora da casca esférica ()
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica interna à superfície. Precisaremos entender como a carga está distribuída e como isso afeta o campo elétrico em cada região.
Passo 2
Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada .
é a carga total dentro da superfície .
é a permissividade do vácuo.
Vamos considerar superfícies gaussianas esféricas de raio para aproveitar a simetria do problema.
Passo 3
Para :
Aqui, estamos dentro da esfera isolante. Supondo que a carga esteja distribuída uniformemente na casca externa, não há carga dentro do raio . Portanto, a carga interna .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico dentro da esfera isolante é zero.
Passo 4
Para :
Agora, estamos na região entre a esfera isolante e o início da casca. Novamente, considerando que toda a carga está na casca, não há carga dentro deste raio . Portanto, .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico entre a esfera e a casca também é zero.
Passo 5
Para :
Estamos agora dentro da casca esférica. A carga está distribuída uniformemente na casca de a . Precisamos calcular a carga interna a uma superfície gaussiana de raio dentro da casca.
A densidade de carga superficial na casca é:
A carga interna até o raio é proporcional à área da superfície até :
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico dentro da casca esférica é constante e dado por:
Passo 6
Para :
Finalmente, estamos fora da casca esférica. Toda a carga está dentro da superfície gaussiana, então .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico fora da casca esférica segue a lei de Coulomb e é: