Uma esfera isolante de raio
e carga
é envolta por uma casca esférica também isolante de raio interno
e raio externo
. Sendo
a carga no interior da casca esférica (distribuída uniformemente pela estrutura da casca) calcule o campo elétrico nas regiões
,
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma esfera isolante de raio
com carga total
. Essa esfera está envolta por uma casca esférica isolante que tem um raio interno
e um raio externo
. A carga
está distribuída uniformemente pela estrutura da casca. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
em quatro regiões diferentes:
- Dentro da esfera isolante (
) - Entre a esfera isolante e o início da casca (
) - Dentro da casca esférica (
) - Fora da casca esférica (
)
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica interna à superfície. Precisaremos entender como a carga está distribuída e como isso afeta o campo elétrico em cada região.
Passo 2
Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
-
é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada . -
é a carga total dentro da superfície . -
é a permissividade do vácuo.
Vamos considerar superfícies gaussianas esféricas de raio
para aproveitar a simetria do problema.
Passo 3
Para
:
Aqui, estamos dentro da esfera isolante. Supondo que a carga
esteja distribuída uniformemente na casca externa, não há carga dentro do raio
. Portanto, a carga interna
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico dentro da esfera isolante é zero.
Passo 4
Para
:
Agora, estamos na região entre a esfera isolante e o início da casca. Novamente, considerando que toda a carga
está na casca, não há carga dentro deste raio
. Portanto,
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico entre a esfera e a casca também é zero.
Passo 5
Para
:
Estamos agora dentro da casca esférica. A carga
está distribuída uniformemente na casca de
a
. Precisamos calcular a carga interna a uma superfície gaussiana de raio
dentro da casca.
A densidade de carga superficial
na casca é:
A carga interna
até o raio
é proporcional à área da superfície até
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico dentro da casca esférica é constante e dado por:
Passo 6
Para
:
Finalmente, estamos fora da casca esférica. Toda a carga
está dentro da superfície gaussiana, então
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico fora da casca esférica segue a lei de Coulomb e é:
Resposta
O campo elétrico
nas diferentes regiões é: