Uma esfera isolante de raio a e carga Q é envolta por uma casca esférica também isolante de raio interno b e raio externo c. Sendo Q a carga no interior da casca esférica (distribuída uniformemente pela estrutura da casca) calcule o campo elétrico nas regiões (r, (a e r>c.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma esfera isolante de raio com carga total . Essa esfera está envolta por uma casca esférica isolante que tem um raio interno e um raio externo . A carga está distribuída uniformemente pela estrutura da casca. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes:
  1. Dentro da esfera isolante ( )
  2. Entre a esfera isolante e o início da casca ( )
  3. Dentro da casca esférica ( )
  4. Fora da casca esférica ( )
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica interna à superfície. Precisaremos entender como a carga está distribuída e como isso afeta o campo elétrico em cada região.

Passo 2

Lei de Gauss nos diz que:
ointS E cdot dA = Qinternavarepsilon0
Onde:
  • é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada .
  • é a carga total dentro da superfície .
  • é a permissividade do vácuo.
Vamos considerar superfícies gaussianas esféricas de raio para aproveitar a simetria do problema.

Passo 3

Para oint E cdot dA = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0 :
Aqui, estamos dentro da esfera isolante. Supondo que a carga esteja distribuída uniformemente na casca externa, não há carga dentro do raio . Portanto, a carga interna .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico dentro da esfera isolante é zero.

Passo 4

Para oint E cdot dA = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0 :
Agora, estamos na região entre a esfera isolante e o início da casca. Novamente, considerando que toda a carga está na casca, não há carga dentro deste raio . Portanto, .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico entre a esfera e a casca também é zero.

Passo 5

Para sigma = Q4pi (c^2 - b^2) :
Estamos agora dentro da casca esférica. A carga Qinterna = sigma cdot 4pi r^2 = Q4pi (c^2 - b^2) cdot 4pi r^2 = Q r^2c^2 - b^2 está distribuída uniformemente na casca de E cdot 4pi r^2 = Q r^2varepsilon0 (c^2 - b^2) Rightarrow E = Q4pi varepsilon0 (c^2 - b^2) a E = Q4pi varepsilon0 (c^2 - b^2) r . Precisamos calcular a carga interna a uma superfície gaussiana de raio dentro da casca.
A densidade de carga superficial na casca é:
A carga interna até o raio é proporcional à área da superfície até :
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico dentro da casca esférica é constante e dado por:

Passo 6

Para E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 Rightarrow E = Q4pi varepsilon0 r^2 :
Finalmente, estamos fora da casca esférica. Toda a carga E = Q4pi varepsilon0 r^2 r está dentro da superfície gaussiana, então .
Aplicando a Lei de Gauss:
Campo elétrico fora da casca esférica segue a lei de Coulomb e é:

Resposta

O campo elétrico E = 0, & para r < a 0, & para a < r < b Q4pi varepsilon0 (c^2 - b^2) r, & para b < r < c Q4pi varepsilon0 r^2 r, & para r > c nas diferentes regiões é:

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