Calcular a distância entre os dois planos paralelos determinados pela equação: π¹: x+y+z-4=0 π²: 2x+2y+2z-5=0

Passo 1

Beleza, temos que calcular a distância entre dois planos paralelos dados pelas equações:
pi¹: x + y + z - 4 = 0¹
pi²: 2x + 2y + 2z - 5 = 0²
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para encontrar a distância entre planos paralelos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que os planos são realmente paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal do primeiro plano é (1, 1, 1) e do segundo plano é (2, 2, 2). Como 2(1, 1, 1) = (2, 2, 2), os planos são paralelos.

Passo 3

A fórmula para a distância entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D₁ = 0 e Ax + By + Cz + D₂ = 0 é:
Distância = |D₂ - D₁|raizA² + B² + C² â²²²
Mas precisamos ajustar as equações para que os coeficientes de x, y e z sejam iguais. Vamos dividir a equação do segundo plano por 2 para ficar igual à do primeiro plano.

Passo 4

Dividindo a equação de pi²² por 2:
pi²: x + y + z - 52 = 0 ²
Agora temos:
pi¹: x + y + z - 4 = 0 ¹
pi²: x + y + z - 52 = 0 ²

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
Distância = | (-52) - (-4) |raiz1² + 1² + 1² = | -52 + 4 |raiz3 â²²²

Passo 6

Calculando o numerador:
-52 + 4 = -52 + 82 = 32
Então:
Distância = 32raiz3 = 32raiz3 = raiz32 â

Resposta

A distância entre os dois planos paralelos é raiz32 unidades.

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