Nós, engenheiros(as), devemos saber como realizar procedimentos de parametrização, pois isso facilita vários dos cálculos que envolvem coordenadas espaciais. Considere as informações abaixo: P = (1,-3,-5) vetor diretor = (1,2,3) Qual a equação da reta que passa pelo ponto P e tem como vetor diretor aquele descrito acima? Alternativas
Alternativa 1: (x,y,z) = (t + 1,2t - 3,3t - 5)
Alternativa 2: (x,y,z) = (t + 1,2t + 3,3t + 5)
Alternativa 3: (x,y,z) = (t + 1,t - 3,t - 5)
Alternativa 4: (x,y,z) = (t - 1,2t - 3,t - 5)
Alternativa 5: (x,y,z) = (t - 1,2t - 2,3t - 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação de uma reta que passa por um ponto específico $ P = (1, -3, -5) $ e que tem um vetor diretor $ \vec{d} = (1, 2, 3) $. Para resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar uma reta no espaço usando um ponto e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se escreve a equação paramétrica de uma reta no espaço. Se você tem um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e um vetor diretor $ \vec{d} = (a, b, c) $, a equação da reta pode ser escrita da seguinte forma:
P(x0, y0, z0)
Aqui, $ t $ é um parâmetro que pode variar para gerar todos os pontos da reta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Nosso ponto $ P $ é $ (1, -3, -5) $ e o vetor diretor $ \vec{d} = (1, 2, 3) $. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
P
Isso significa que cada coordenada da reta será:
(1, -3, -5)

Passo 4

Agora, vamos comparar essa equação com as alternativas fornecidas:
  1. Alternativa 1: $ (x, y, z) = (t + 1, 2t - 3, 3t - 5) $
  2. Alternativa 2: $ (x, y, z) = (t + 1, 2t + 3, 3t + 5) $
  3. Alternativa 3: $ (x, y, z) = (t + 1, t - 3, t - 5) $
  4. Alternativa 4: $ (x, y, z) = (t - 1, 2t - 3, t - 5) $
  5. Alternativa 5: $ (x, y, z) = (t - 1, 2t - 2, 3t - 3) $
Comparando com a nossa equação:
(x, y, z) = (t + 1, 2t - 3, 3t - 5)
Vemos que a Alternativa 1 corresponde exatamente:
(x, y, z) = (t + 1, 2t + 3, 3t + 5)

Resposta

A equação da reta correta é a Alternativa 1:
(x, y, z) = (t + 1, 2t - 3, 3t - 5)

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