Calcular a distância P à reta r nos seguintes casos: P=(-2,3) e r:lx=7 t-1 y=24 t+1, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos um ponto x = 7t - 1 y = 24t + 1 , t in R e uma reta descrita pelas equações paramétricas:
O objetivo é calcular a distância entre o ponto e a reta . Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especialmente a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações paramétricas da reta em uma forma mais fácil de trabalhar, como a equação geral da reta .
Sabemos que a direção da reta é dada pelos coeficientes de nas equações paramétricas, ou seja, o vetor diretor é .
Para encontrar a equação geral, precisamos de um ponto que esteja na reta. Se colocarmos , obtemos o ponto na reta .

Passo 3

Com o vetor diretor r(t) = (-1, 1) + t cdot (7, 24) e um ponto na reta , podemos escrever a equação vetorial da reta:
Para transformar isso na equação geral da reta, sabemos que se a reta tem a direção , então a equação geral será da forma . Vamos encontrar o valor de .

Passo 4

Substituímos o ponto 24(-1) - 7(1) + C = 0 -24 - 7 + C = 0 C = 31 na equação 24x - 7y + 31 = 0 :
Então, a equação geral da reta é:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 a uma reta :
No nosso caso, , , e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
d = |24(-2) + (-7)(3) + 31|raiz24^2 + (-7)^2 d = |-48 - 21 + 31|raiz576 + 49 d = |-38|raiz625 d = 3825 d = 1,52

Resposta

A distância do ponto à reta é de 1,52 unidades.

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