Determinar os pontos da reta y=2 x que estão à distância 2 da reta 4 x+3 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos que estão na reta e que estão a uma distância de 2 unidades da reta . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Saber como calcular a distância de um ponto a uma reta usando a fórmula apropriada.
  • Manipular equações lineares para encontrar os valores das coordenadas dos pontos que satisfazem as condições do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 de um ponto até uma reta da forma . A fórmula é:
No nosso caso, a reta é , então , , e . Queremos que essa distância seja igual a 2.

Passo 3

Como os pontos que estamos procurando estão na reta 2 = |4x + 3(2x) + 0|raiz4^2 + 3^2 , podemos representar qualquer ponto nessa reta como . Vamos substituir por e por na fórmula da distância:

Passo 4

Simplificando o numerador da fração:
4x + 3(2x) = 4x + 6x = 10x
E no denominador:
raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Agora, a equação fica:
2 = |10x|5

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por 5 para eliminar o denominador:
2 times 5 = |10x|
10 = |10x|
Agora, dividimos ambos os lados por 10:
1 = |x|

Passo 6

A equação x = 1 ou x = -1 significa que pode ser 1 ou -1. Portanto, temos dois valores para :

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de y = 2(1) = 2 usando a equação da reta y = 2(-1) = -2 :
  • Se :
  • Se :

Resposta

Os pontos da reta que estão a uma distância de 2 unidades da reta são e .

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