Obter uma reta paralela a r: x+y+6=0 e distante raiz2 do ponto C=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma reta que seja paralela à reta e que esteja a uma distância de do ponto .
Matéria envolvida: Equações de retas paralelas e cálculo de distância de um ponto a uma reta.
O que vamos precisar:
  • Entender como identificar retas paralelas.
  • Saber calcular a distância entre um ponto e uma reta usando a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, ou seja, os mesmos coeficientes para x + y + 6 = 0 e x + y + D = 0 na equação geral da reta. A equação da reta é , que podemos reescrever na forma padrão:
Aqui, os coeficientes de e são ambos 1. Portanto, qualquer reta paralela a terá a forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 de forma que a nova reta esteja a uma distância de do ponto .
Para isso, usamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta :
No nosso caso:

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
raiz2 = |1 cdot 1 + 1 cdot 1 + D|raiz1^2 + 1^2
Simplificando o denominador:
raiz1 + 1 = raiz2
Então a equação fica:
raiz2 = |2 + D|raiz2

Passo 5

Agora, vamos resolver para raiz2 cdot raiz2 = |2 + D| . Multiplicamos ambos os lados por 2 = |2 + D| para eliminar o denominador:
Sabemos que , então:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 6

Vamos resolver cada uma das possibilidades:
  1. Primeira possibilidade:
    2 + D = 2 implies D = 0
  2. Segunda possibilidade:
    2 + D = -2 implies D = -4

Passo 7

Com os valores de encontrados, temos duas retas paralelas a que estão a uma distância de do ponto :
  1. ou simplificando

Resposta

As retas paralelas a boxed x + y = 0 x + y - 4 = 0 e distantes do ponto são:

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