Calcular a distância entre as retas
e
nos seguintes casos:
©
e
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, a gente vai precisar identificar as equações das retas, encontrar os vetores diretores delas e aplicar a fórmula da distância entre retas no espaço usando produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
- Reta r:
Isso significa que podemos parametrizar a reta r usando um parâmetro
:
- Reta s:
Vamos resolver esse sistema para parametrizar a reta s.
Passo 3
Resolvendo o sistema para a reta s:
Das equações:
Escolhemos
como parâmetro:
Passo 4
Agora, identificamos os vetores diretores das duas retas:
- Vetor diretor da reta r:
- Vetor diretor da reta s:
Observamos que os vetores diretores são iguais, o que indica que as retas são paralelas.
Passo 5
Como as retas são paralelas, a distância entre elas pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
e são pontos das retas r e s, respectivamente. -
é um vetor normal às retas (neste caso, é o próprio vetor diretor, já que as retas são paralelas).
Vamos escolher pontos das retas:
- Para a reta r, quando
: - Para a reta s, quando
:
Passo 6
Calculando a diferença entre os pontos:
Como as retas são paralelas, o vetor
pode ser o vetor diretor
.
Agora, calculamos o produto vetorial
:
Calculamos o produto escalar
:
Então, a distância é:
Resposta
A distância entre as retas
e
é
unidades.