Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
© r: x=y=z-2 e s:lx-y+1=0 x-z-3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, a gente vai precisar identificar as equações das retas, encontrar os vetores diretores delas e aplicar a fórmula da distância entre retas no espaço usando produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
  • Reta r: r(t) = (t, t, t + 2)
Isso significa que podemos parametrizar a reta r usando um parâmetro x - y + 1 = 0 x - z - 3 = 0 :
  • Reta s:
Vamos resolver esse sistema para parametrizar a reta s.

Passo 3

Resolvendo o sistema para a reta s:
Das equações:
x - y + 1 = 0 Rightarrow y = x + 1
x - z - 3 = 0 Rightarrow z = x - 3
Escolhemos s(t) = (t, t + 1, t - 3) como parâmetro:

Passo 4

Agora, identificamos os vetores diretores das duas retas:
  • Vetor diretor da reta r:
  • Vetor diretor da reta s:
Observamos que os vetores diretores são iguais, o que indica que as retas são paralelas.

Passo 5

Como as retas são paralelas, a distância entre elas pode ser calculada usando a fórmula:
d = dfrac|as - ar cdot n||n|
Onde:
  • e são pontos das retas r e s, respectivamente.
  • é um vetor normal às retas (neste caso, é o próprio vetor diretor, já que as retas são paralelas).
Vamos escolher pontos das retas:
  • Para a reta r, quando :
  • Para a reta s, quando :

Passo 6

Calculando a diferença entre os pontos:
as - ar = (0 - 0, 1 - 0, -3 - 2) = (0, 1, -5)
Como as retas são paralelas, o vetor |n| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 pode ser o vetor diretor (0, 1, -5) cdot (1, 1, 1) = 0 times 1 + 1 times 1 + (-5) times 1 = 0 + 1 - 5 = -4 .
Agora, calculamos o produto vetorial | -4 | = 4 :
d = dfrac4raiz3 = dfrac4raiz33
Calculamos o produto escalar :
Então, a distância é:

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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