Calcule a distância do ponto C=(2,1,2) à reta determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(0,1,1).

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a distância do ponto até a reta que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a direção da reta. Isso é feito subtraindo as coordenadas de AB = B - A = (0-1, 1-0, 1-1) = (-1, 1, 0) e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que vai do ponto AC = C - A = (2-1, 1-0, 2-1) = (1, 1, 1) até o ponto :

Passo 4

Para calcular a distância, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores Distância = |AB times AC||AB| e :
â
Isso significa que precisamos calcular o módulo do produto vetorial de e , e dividir pelo módulo de .

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(-1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(-1 cdot 1 - 1 cdot 1) :
= i(1) - j(-1) + k(-2) = (1, 1, -2)

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse produto vetorial:
|AB times AC| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo do vetor |AB| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = raiz6raiz2 = raiz62 = raiz3 â

Resposta

A distância do ponto à reta é unidades.

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