Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies.
no ponto
(o cone elíptico)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a superfície dada pela equação
. Podemos reescrever isso como uma função implícita:
Passo 3
O próximo passo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
,
e
. Essas derivadas formam o gradiente da função, que nos dá a direção perpendicular à superfície naquele ponto.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com o gradiente calculado no ponto
, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes funções são harmônicas.
Seja
uma função derivável, com
. Se
, mostre que a derivada direcional
será máxima quando
.
Calcule a derivada direcional Da função
no ponto
na direção do vetor
.
Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.