Calcular o fluxo do campo através da face externa do cilindro limitado pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial através da face externa de um cilindro definido por , entre os planos e . A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e como calcular integrais de superfície usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície pela qual queremos calcular o fluxo. Temos um cilindro com raio e altura , limitado por e . Queremos calcular o fluxo apenas pela face externa lateral do cilindro, não pelas tampas superior e inferior.

Passo 3

Para calcular o fluxo, usamos a definição de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície :
onde é o vetor normal à superfície. No nosso caso, precisamos parametrizar a superfície lateral do cilindro para encontrar e .

Passo 4

Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na lateral do cilindro pode ser representado como:
com variando de a e de a . O vetor normal para a superfície lateral é radial, ou seja, . O elemento de área na superfície lateral é:
Agora, substituímos e na integral:
Simplificando o produto escalar:
Então, o fluxo fica:

Resposta

O fluxo é igual a .

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