Calcular o fluxo do campo
através da face externa do cilindro
limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial
através da face externa de um cilindro definido por
, entre os planos
e
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e como calcular integrais de superfície usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície pela qual queremos calcular o fluxo. Temos um cilindro com raio
e altura
, limitado por
e
. Queremos calcular o fluxo apenas pela face externa lateral do cilindro, não pelas tampas superior e inferior.
Passo 3
Para calcular o fluxo, usamos a definição de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
:
onde
é o vetor normal à superfície. No nosso caso, precisamos parametrizar a superfície lateral do cilindro para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na lateral do cilindro pode ser representado como:
com
variando de
a
e
de
a
. O vetor normal para a superfície lateral é radial, ou seja,
. O elemento de área
na superfície lateral é:
Agora, substituímos
e
na integral:
Simplificando o produto escalar:
Então, o fluxo fica:
Resposta
O fluxo é igual a
.
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.
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abaixo do plano
.