Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
f(t) = 4 + 2t - 5t^2 + t^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções no tempo (como essa que temos aqui) para o domínio da frequência, ajudando a resolver equações diferenciais de forma mais simples. Vamos precisar lembrar das fórmulas da Transformada de Laplace para funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Para uma função , a Transformada de Laplace é dada por:
Mas, para facilitar, vamos usar as fórmulas já conhecidas para polinômios.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a Transformada de Laplace para cada termo da função :
  1. Para a constante 4:
    A Transformada de Laplace de uma constante é:
    Então,
  2. Para o termo :
    A Transformada de Laplace de é:
    Multiplicando pelo coeficiente 2:
  3. Para o termo :
    A Transformada de Laplace de é:
    Aqui, :
    Então,
  4. Para o termo :
    Usando a mesma fórmula com :

Resposta

Juntando tudo, a Transformada de Laplace de é:

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