Encontrar o fluxo do campo
através da parte externa da superfície
abaixo do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial
através da parte externa da superfície
que está abaixo do plano
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de fluxo e integrais de superfície. Vamos precisar entender como calcular o fluxo de um campo vetorial por uma superfície parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície. A equação
representa um paraboloide que se abre para cima. Queremos considerar apenas a parte desse paraboloide que fica abaixo do plano
. Isso significa que vamos trabalhar com a região onde
.
Passo 3
Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar a superfície ou escolher coordenadas que facilitem a integração. Como a equação da superfície envolve
, é uma boa ideia usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, a equação da superfície fica
.
Passo 4
Agora, vamos expressar o vetor normal à superfície. Em coordenadas polares, o vetor normal
pode ser encontrado usando o gradiente da função que define a superfície. A função é
, então o gradiente é:
Em coordenadas polares, isso fica
.
Passo 5
O fluxo
é dado pela integral dupla da função
sobre a superfície. Então:
Substituindo
e
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos expressar o elemento de área
. Em coordenadas polares,
. Calculando o módulo de
:
Então,
.
Passo 7
Agora, configuramos os limites de integração. Como
, em coordenadas polares,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
.
Passo 8
Montamos a integral para o fluxo:
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver analiticamente, mas percebemos que o termo envolvendo
se anulará devido à simetria ao integrar de 0 a
. Portanto, simplificamos para:
Resposta
Após calcular a integral, o fluxo do campo
através da superfície dada é:
Portanto, o fluxo é
.
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e
.
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