Encontrar o fluxo do campo através da parte externa da superfície abaixo do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através da parte externa da superfície que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de fluxo e integrais de superfície. Vamos precisar entender como calcular o fluxo de um campo vetorial por uma superfície parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície. A equação representa um paraboloide que se abre para cima. Queremos considerar apenas a parte desse paraboloide que fica abaixo do plano . Isso significa que vamos trabalhar com a região onde .

Passo 3

Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar a superfície ou escolher coordenadas que facilitem a integração. Como a equação da superfície envolve , é uma boa ideia usar coordenadas polares, onde e . Assim, a equação da superfície fica .

Passo 4

Agora, vamos expressar o vetor normal à superfície. Em coordenadas polares, o vetor normal pode ser encontrado usando o gradiente da função que define a superfície. A função é , então o gradiente é:
Em coordenadas polares, isso fica .

Passo 5

O fluxo é dado pela integral dupla da função sobre a superfície. Então:
Substituindo e , temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos expressar o elemento de área . Em coordenadas polares, . Calculando o módulo de :
Então, .

Passo 7

Agora, configuramos os limites de integração. Como , em coordenadas polares, varia de 0 a e varia de 0 a .

Passo 8

Montamos a integral para o fluxo:
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver analiticamente, mas percebemos que o termo envolvendo se anulará devido à simetria ao integrar de 0 a . Portanto, simplificamos para:

Resposta

Após calcular a integral, o fluxo do campo através da superfície dada é:
Portanto, o fluxo é .

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