Encontrar o fluxo do campo através da face superior do triângulo com vértices

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da face superior de um triângulo com vértices em , e .
Aqui vai o que precisamos saber:
  • Fluxo de um campo vetorial: mede quanto do campo passa por uma superfície.
  • Superfície triangular: precisamos parametrizar essa superfície para calcular o fluxo.
  • Produto escalar e integrais de superfície: serão usados para calcular o fluxo.
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície pela qual vamos calcular o fluxo. Temos um triângulo no espaço com vértices em , e . Esse triângulo está no primeiro octante, onde , e são não negativos.
Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície desse triângulo. Podemos usar parâmetros e que variam de 0 a 1, de tal forma que . A parametrização será:
Substituindo os pontos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor normal à superfície para calcular o fluxo. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas:
Então, .

Passo 4

Agora vamos expressar o campo vetorial na parametrização da superfície. Substituímos , e na expressão de :
Vamos simplificar cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então,

Passo 5

O fluxo do campo através da superfície é dado pela integral de superfície:
Como já temos e a parametrização , podemos expressar como . Mas como já está computado, simplificamos para:
Calculando o produto escalar:

Passo 6

Agora, determinamos os limites de integração para e . No triângulo definido por , e , os limites são:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a de 0 a 1:
Calculando cada integral:
Somando tudo:

Resposta

O fluxo do campo através da face superior do triângulo é .

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