Encontrar o fluxo do campo através da face superior do triângulo com vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da face superior de um triângulo com vértices em , e .
Aqui vai o que precisamos saber:
Fluxo de um campo vetorial: mede quanto do campo passa por uma superfície.
Superfície triangular: precisamos parametrizar essa superfície para calcular o fluxo.
Produto escalar e integrais de superfície: serão usados para calcular o fluxo.
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície pela qual vamos calcular o fluxo. Temos um triângulo no espaço com vértices em , e . Esse triângulo está no primeiro octante, onde , e são não negativos.
Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície desse triângulo. Podemos usar parâmetros e que variam de 0 a 1, de tal forma que . A parametrização será:
Substituindo os pontos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal à superfície para calcular o fluxo. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas:
Então, .
Passo 4
Agora vamos expressar o campo vetorial na parametrização da superfície. Substituímos , e na expressão de :
Vamos simplificar cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então,
Passo 5
O fluxo do campo através da superfície é dado pela integral de superfície:
Como já temos e a parametrização , podemos expressar como . Mas como já está computado, simplificamos para:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Agora, determinamos os limites de integração para e . No triângulo definido por , e , os limites são:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a de 0 a 1:
Calculando cada integral:
Somando tudo:
Resposta
O fluxo do campo através da face superior do triângulo é .